0371-2004 东大工 机械 P96

流体力学 边界层理论 量级分析 纳维斯托克斯方程

境界層方程式について下記の小問に答えよ。

(1) 境界層の定義とその特徴を 100 字以内で述べよ。

(2) 非圧縮性流体の 2 次元定常流れを支配するナビエ・ストークス方程式は以下で表される。ただし、x 軸および y 軸方向の速度を u、v、密度を $\rho$、圧力を p、動粘性係数を $\nu$ とする。

$$u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial x}+\nu \left(\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\right)$$ $$u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial y}+\nu \left(\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y^2}\right)$$ $$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0$$

上式より下記の条件を用いて境界層方程式を導け。その際、各式中の項のオーダー比較を含めた導出過程も記述すること。なお、連続の式の第1項のオーダー評価を例に示す。
・物体の表面に沿ってx軸、垂直方向にy軸とし、物体表面は平坦とみなす。
・物体の代表長さLと境界層外縁の速度 $U_e$ を基準の大きさとしたとき、レイノルズ数は十分大きく、境界層厚さ $\delta$ は代表長さLに対して十分小さい。

例

$$\underline{\frac{\partial u}{\partial x}}+\frac{\partial v}{\partial y}=0\text{（左辺の第1項のオーダー評価を下線に示す）}$$

		$U_e/L$

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解答：

(1)

$$\boxed{\begin{array}{rl}& \text{物体表面近傍に形成される，粘性による摩擦の影響が顕著な薄い流体の層．}\\ & \text{特徴として，壁面に垂直な方向の速度勾配が非常に大きく，粘性力と慣性力}\\ & \text{が同程度の大きさとなる．}\end{array}}$$

(2)
各変数のオーダーを $x\sim L,y\sim \delta ,u\sim U_e$ とおく。
連続の式について各項のオーダーを評価する。

$$\underset{U_e/L}{\underbrace{\frac{\partial u}{\partial x}}}+\underset{v/\delta }{\underbrace{\frac{\partial v}{\partial y}}}=0$$

上式の両項のオーダーは等しいため、$v\sim U_e\frac{\delta }{L}$ となる。

次に、x方向の運動量方程式の各項のオーダーを評価する。

$$\underset{U_e^2/L}{\underbrace{u\frac{\partial u}{\partial x}}}+\underset{\left(U_e\frac{\delta }{L}\right)\frac{U_e}{\delta }=U_e^2/L}{\underbrace{v\frac{\partial u}{\partial y}}}=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial x}+\nu \left(\underset{U_e/L^2}{\underbrace{\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}}}+\underset{U_e/{\delta }^2}{\underbrace{\frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}}}\right)$$

ここで、$\delta \ll L$ より $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}\ll \frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}$ であるため、粘性項のうち $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}$ を無視できる。また、境界層内では慣性力と粘性力が同程度のオーダーとなるため、$\frac{U_e^2}{L}\sim \nu \frac{U_e}{{\delta }^2}$ が成り立つ。圧力勾配項もこれと同程度の $\frac{U_e^2}{L}$ のオーダーとなる。

続いて、y方向の運動量方程式の各項のオーダーを評価する。

$$\underset{U_e\frac{U_e\delta /L}{L}=\frac{U_e^2\delta }{L^2}}{\underbrace{u\frac{\partial v}{\partial x}}}+\underset{\left(U_e\frac{\delta }{L}\right)\frac{U_e\delta /L}{\delta }=\frac{U_e^2\delta }{L^2}}{\underbrace{v\frac{\partial v}{\partial y}}}=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial y}+\nu \left(\underset{\frac{U_e\delta /L}{L^2}}{\underbrace{\frac{{\partial }^{2}v}{\partial x^2}}}+\underset{\frac{U_e\delta /L}{{\delta }^2}=\frac{\delta }{L}\frac{\nu U_e}{{\delta }^2}=\frac{U_e^2\delta }{L^2}}{\underbrace{\frac{{\partial }^{2}v}{\partial y^2}}}\right)$$

y方向方程式の各項（圧力勾配項を除く）は、x方向方程式の各項のオーダー $\frac{U_e^2}{L}$ と比較して $\delta /L$ 倍となっており、$\delta \ll L$ の条件から無視できるほど小さい。したがって、圧力勾配項もゼロとみなすことができ、$\frac{\partial p}{\partial y}=0$ となる。これは圧力 $p$ が $y$ に依存せず、$p=p(x)$ であることを意味する。

以上のオーダー評価により省略可能な項を取り除き、圧力がxのみの関数であることを考慮すると、境界層方程式は以下のように導かれる。

$$\boxed{\begin{array}{rl}& \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0\\ & u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{\rho }\frac{dp}{dx}+\nu \frac{{\partial }^{2}u}{\partial y^2}\end{array}}$$

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这是一个经典的流体力学边界层理论推导问题。第一小问需要明确边界层的定义，即流体流经固体表面时，因粘性作用在壁面附近产生的极薄流体层。它的核心特征是在垂直于壁面的方向上速度梯度极大，且在此薄层内流体的惯性力与粘性力量级相当。第二小问考察的是利用量级分析方法对纳维-斯托克斯方程进行化简。首先依据物体的特征长度和主流区速度设定基本物理量的量级，由连续性方程两项必须平衡的原则，推导出垂直于壁面方向的速度量级必定远小于平行于壁面方向的速度。接着将得到的量级代入x方向动量方程，由于边界层极薄，速度沿流向的二阶导数相比于法向的二阶导数可以忽略不计。随后对y方向动量方程进行相同的量级评估，会发现所有项均比x方向动量方程的对应项小了一个极其微小的比值，由此得出结论：边界层内压力在垂直于壁面方向上几乎不变，压力仅仅是流向坐标的函数。最后保留原方程中量级较大的核心项，并将偏导数形式的压力梯度改写为全导数，即可得到描述二维定常不可压缩流体边界层流动的普朗特边界层方程组。