0369-2004 东大工 机械 P98

材料力学 应力分析 主应力

(1) 二次元平面応力状態にある線形弾性体の，ある点oの応力が ${\sigma }_{xx},{\sigma }_{yy},{\tau }_{xy}$ であるとする（図6-1）．以下の記述の［イ］～［チ］にあてはまる式を答えよ．ただし，応力成分は図示の矢印の方向を正とし，単位厚さあたりの諸量を考えるものとする．
点oを通り，その法線方向 (o-n) と$x$軸方向のなす角が$\theta$である面積$ds$の面ABに生じる垂直応力$\sigma$とせん断応力$\tau$を，${\sigma }_{xx},{\sigma }_{yy},{\tau }_{xy}$と$\theta$により表すことを考える．面ACの面積を$dx$とし面BCの面積を$dy$とする．法線方向の力のつりあいより，$\sigma ds=$ ［イ］ となる．$dx=ds\sin \theta$ および $dy=ds\cos \theta$ の関係を用いて$ds$を消去すれば，$\sigma =$ ［ロ］ となる．この式を書き換えると式①となる．

$$\sigma =\frac{1}{2}({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})+\frac{1}{2}({\sigma }_{xx}-{\sigma }_{yy})\cos 2\theta +{\tau }_{xy}\sin 2\theta \cdots \text{①}$$

またAB方向の力のつりあいより，$\tau ds=$ ［ハ］ となり，$dx=ds\sin \theta$ および $dy=ds\cos \theta$ の関係を用いて$ds$を消去すれば，$\tau =$ ［ニ］ となる．
これら応力成分$\sigma$および$\tau$は，面ABを設定する角度$\theta$により変化する．式①の$\sigma$を極大あるいは極小とする$\theta$を${\theta }_p$とすれば，$\tan 2{\theta }_p=$ ［ホ］，すなわち $\cos 2{\theta }_p=\pm$ ［へ］ および $\sin 2{\theta }_p=\pm$ ［ト］ (復号同順) となり，この関係を式①に代入して，$\sigma =$ ［チ］ となる．

(2) 上記の問題で求めた，$\theta$に関して極大あるいは極小となる応力$\sigma$を何と呼ぶか答えよ．また機械の設計において，このような応力を求めることの意義を述べよ．

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解答：

(1)
法線方向(n方向)の力の釣り合いを考える。面AC（面積$dx$）に働く力は$x$方向の${\sigma }_{xx}dx$と$y$方向の${\tau }_{xy}dx$。面BC（面積$dy$）に働く力は$x$方向の${\tau }_{xy}dy$と$y$方向の${\sigma }_{yy}dy$。これらをn方向に投影する。

$$\sigma ds={\sigma }_{xx}dy\cos \theta +{\sigma }_{yy}dx\sin \theta +{\tau }_{xy}dy\sin \theta +{\tau }_{xy}dx\cos \theta$$

よって、

$$\boxed{\text{［イ］}{\sigma }_{xx}dy\cos \theta +{\sigma }_{yy}dx\sin \theta +{\tau }_{xy}dy\sin \theta +{\tau }_{xy}dx\cos \theta }$$

$dx=ds\sin \theta ,dy=ds\cos \theta$ を代入して $ds$ で割る。

$$\begin{array}{rl}\sigma & ={\sigma }_{xx}{\cos }^2\theta +{\sigma }_{yy}{\sin }^2\theta +{\tau }_{xy}\cos \theta \sin \theta +{\tau }_{xy}\sin \theta \cos \theta \\ & ={\sigma }_{xx}{\cos }^2\theta +{\sigma }_{yy}{\sin }^2\theta +2{\tau }_{xy}\sin \theta \cos \theta \end{array}$$

よって、

$$\boxed{\text{［ロ］}{\sigma }_{xx}{\cos }^2\theta +{\sigma }_{yy}{\sin }^2\theta +2{\tau }_{xy}\sin \theta \cos \theta }$$

面AB方向の力の釣り合いを考える。正の方向を図の$\tau$の向き（右下向き）とする。

$$\tau ds=-{\sigma }_{xx}dy\sin \theta +{\sigma }_{yy}dx\cos \theta +{\tau }_{xy}dy\cos \theta -{\tau }_{xy}dx\sin \theta$$

よって、

$$\boxed{\text{［ハ］}-{\sigma }_{xx}dy\sin \theta +{\sigma }_{yy}dx\cos \theta +{\tau }_{xy}dy\cos \theta -{\tau }_{xy}dx\sin \theta }$$

$dx=ds\sin \theta ,dy=ds\cos \theta$ を代入して $ds$ で割る。

$$\begin{array}{rl}\tau & =-{\sigma }_{xx}\cos \theta \sin \theta +{\sigma }_{yy}\sin \theta \cos \theta +{\tau }_{xy}{\cos }^2\theta -{\tau }_{xy}{\sin }^2\theta \\ & =-({\sigma }_{xx}-{\sigma }_{yy})\sin \theta \cos \theta +{\tau }_{xy}({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )\end{array}$$

倍角の公式を用いると、

$$\tau =-\frac{1}{2}({\sigma }_{xx}-{\sigma }_{yy})\sin 2\theta +{\tau }_{xy}\cos 2\theta$$

よって、

$$\boxed{\text{［ニ］}-\frac{1}{2}({\sigma }_{xx}-{\sigma }_{yy})\sin 2\theta +{\tau }_{xy}\cos 2\theta }$$

$\sigma$が極値をとるとき、$\frac{d\sigma }{d\theta }=0$ である。
式①より、

$$\frac{d\sigma }{d\theta }=-({\sigma }_{xx}-{\sigma }_{yy})\sin 2\theta +2{\tau }_{xy}\cos 2\theta =0$$ $$\therefore \tan 2{\theta }_p=\frac{\sin 2{\theta }_p}{\cos 2{\theta }_p}=\frac{2{\tau }_{xy}}{{\sigma }_{xx}-{\sigma }_{yy}}$$

よって、

$$\boxed{\text{［ホ］}\frac{2{\tau }_{xy}}{{\sigma }_{xx}-{\sigma }_{yy}}}$$

このとき、直角三角形の斜辺の長さは $R=\sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_{xx}-{\sigma }_{yy}}{2}\right)}^2+{\tau }_{xy}^2}$ に比例するため、

$$\cos 2{\theta }_p=\pm \frac{\frac{{\sigma }_{xx}-{\sigma }_{yy}}{2}}{\sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_{xx}-{\sigma }_{yy}}{2}\right)}^2+{\tau }_{xy}^2}}=\pm \frac{{\sigma }_{xx}-{\sigma }_{yy}}{\sqrt{({\sigma }_{xx}-{\sigma }_{yy}{)}^2+4{\tau }_{xy}^2}}$$ $$\sin 2{\theta }_p=\pm \frac{{\tau }_{xy}}{\sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_{xx}-{\sigma }_{yy}}{2}\right)}^2+{\tau }_{xy}^2}}=\pm \frac{2{\tau }_{xy}}{\sqrt{({\sigma }_{xx}-{\sigma }_{yy}{)}^2+4{\tau }_{xy}^2}}$$

よって、

$$\boxed{\text{［へ］}\frac{{\sigma }_{xx}-{\sigma }_{yy}}{\sqrt{({\sigma }_{xx}-{\sigma }_{yy}{)}^2+4{\tau }_{xy}^2}}}$$ $$\boxed{\text{［ト］}\frac{2{\tau }_{xy}}{\sqrt{({\sigma }_{xx}-{\sigma }_{yy}{)}^2+4{\tau }_{xy}^2}}}$$

これらを式①に代入すると、

$$\begin{array}{rl}\sigma & =\frac{{\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy}}{2}\pm \frac{({\sigma }_{xx}-{\sigma }_{yy}{)}^2}{4\sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_{xx}-{\sigma }_{yy}}{2}\right)}^2+{\tau }_{xy}^2}}\pm \frac{2{\tau }_{xy}^2}{2\sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_{xx}-{\sigma }_{yy}}{2}\right)}^2+{\tau }_{xy}^2}}\\ & =\frac{{\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy}}{2}\pm \frac{{\left(\frac{{\sigma }_{xx}-{\sigma }_{yy}}{2}\right)}^2+{\tau }_{xy}^2}{\sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_{xx}-{\sigma }_{yy}}{2}\right)}^2+{\tau }_{xy}^2}}\\ & =\frac{{\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy}}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_{xx}-{\sigma }_{yy}}{2}\right)}^2+{\tau }_{xy}^2}\end{array}$$

よって、

$$\boxed{\text{［チ］}\frac{{\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy}}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_{xx}-{\sigma }_{yy}}{2}\right)}^2+{\tau }_{xy}^2}}$$

(2)
名称：主応力 (主応力成分)

意義：機械の設計において部材が破壊や塑性変形を起こさずに安全に機能するかを評価するためには，部材内に発生する応力の最大値を知る必要がある．平面応力状態においては，任意の傾きを持つ断面に様々な垂直応力とせん断応力が生じるが，主応力はその点で発生しうる垂直応力の最大値（および最小値）であり，かつその面にせん断応力は働かない．多くの材料の破壊基準（最大主応力説など）や降伏基準は主応力をベースに評価されるため，主応力を求めてそれを材料の許容応力と比較することは，強度設計における最も基礎的かつ重要なプロセスである．

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本题考察了材料力学中非常核心的二维应力状态分析以及主应力的推导过程。 第一问通过在微元体上截取一个斜截面，建立法向和切向的静力平衡方程。这里需要注意力的分量投影时的几何关系，特别是由于截面面积不同，需要乘以对应的边长dx和dy将应力转化为力。得到关于角度θ的三角函数表达式后，利用二倍角公式可以将其化简为标准形式。为了求出极值，对角度求导并令其为零，即可得到主平面的方向。将主平面的正余弦值代回原式，就得到了主应力的经典公式。这个推导过程也是莫尔圆（Mohr’s circle）理论的基础。第二问要求解释该极值应力的概念及其在工程设计中的物理意义。主应力不仅代表了材料该点可能承受的最大法向拉压作用，而且在其所在的截面上切应力为零，这对于应用各种强度准则（如最大拉应力理论、Tresca屈服准则或von Mises屈服准则）进行安全校核具有决定性的作用。