0366-2004 东大工 机械 P95

流体力学 贝茨极限 动量理论

水平軸プロペラ風車の理論的な効率を下記の小問の順序で計算せよ。ただし、下図3-1のような流管を定義し、断面内の風速・圧力の分布の概略はそれぞれ図3-2、3-3で与えられるものとする。入口、出口およびプロペラ位置の流管の断面積をそれぞれ$A_1$、$A_2$および$A$とし、対応する位置における断面平均風速をそれぞれ$V_1$、$V_2$および$V$とする。圧力$p^{+}$および$p^{-}$はそれぞれプロペラ直前および直後の圧力を示し、空気の密度は$\rho$とする。なお、計算に際して必要な仮定・記号などは、あらかじめ明らかにした上で利用することができる。

(1) 水平軸方向の運動量保存則を用いて、プロペラに加わる右向きのスラスト$T$を求めよ。
(2) ベルヌーイの定理を用いて、プロペラの上流および下流の圧力差として、プロペラに加わる右向きのスラスト$T$を求めよ。
(3) (1) (2) で求めたスラストが等しいことを用い、プロペラ位置の断面平均風速$V$を入口断面平均風速$V_1$および出口断面平均風速$V_2$を用いて表せ。
(4) 次式に示す水平軸方向の風速変化を示すパラメータ$a$を導入するとき、プロペラにより風から取り出されるパワー$P$を、エネルギーの保存則から求めよ。なお、風速については入口断面平均風速$V_1$を用いて記述すること。

$$V=V_1(1-a)$$
(5) $P$の最大値を求めよ。また、プロペラ位置の面積$A$で受ける単位時間当たりの風力エネルギーを分母としたときの、風車の理論的効率を算出せよ。

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解答：

(1)
質量保存則より、流管の任意の断面における質量流量 $\dot{m}$ は一定である。

$$\dot{m}=\rho A_1{V}_1=\rho AV=\rho A_2{V}_2$$

運動量保存則より、流体がプロペラに及ぼすスラスト $T$ は、単位時間あたりの流体の運動量変化に等しいため、

$$T=\dot{m}{V}_1-\dot{m}{V}_2=\rho AV(V_1-V_2)$$ $$\boxed{T=\rho AV(V_1-V_2)}$$

(2)
無限遠の上流および下流における大気圧を $p_0$ とする。プロペラの上流側と下流側でそれぞれベルヌーイの定理を適用すると、

$$\begin{array}{rl}{p}_0+\frac{1}{2}\rho V_1^2& =p^{+}+\frac{1}{2}\rho V^2\\ p^{-}+\frac{1}{2}\rho V^2& =p_0+\frac{1}{2}\rho V_2^2\end{array}$$

これらより、プロペラ前後の圧力差は、

$$p^{+}-p^{-}=\frac{1}{2}\rho (V_1^2-V_2^2)$$

プロペラに加わるスラスト $T$ は、この圧力差が面積 $A$ に作用した力に等しいため、

$$T=A(p^{+}-p^{-})=\frac{1}{2}\rho A(V_1^2-V_2^2)$$ $$\boxed{T=\frac{1}{2}\rho A(V_1^2-V_2^2)}$$

(3)
(1)と(2)で求めた $T$ が等しいため、

$$\rho AV(V_1-V_2)=\frac{1}{2}\rho A(V_1^2-V_2^2)$$

$V_1\ne V_2$ として両辺を $\rho A(V_1-V_2)$ で割ると、

$$V=\frac{1}{2}(V_1+V_2)$$ $$\boxed{V=\frac{V_1+V_2}{2}}$$

(4)
エネルギー保存則より、プロペラによって取り出されるパワー $P$ は、単位時間あたりの運動エネルギーの減少量に等しい。

$$P=\frac{1}{2}\dot{m}{V}_1^2-\frac{1}{2}\dot{m}{V}_2^2=\frac{1}{2}\rho AV(V_1^2-V_2^2)$$

$V=V_1(1-a)$ および (3)の $V_2=2V-V_1$ より、

$$V_2=2V_1(1-a)-V_1=V_1(1-2a)$$

これらを $P$ の式に代入すると、

$$\begin{array}{rl}P& =\frac{1}{2}\rho A{V}_1(1-a)\left[V_1^2-\{V_1(1-2a){\}}^2\right]\\ & =\frac{1}{2}\rho A{V}_1^3(1-a)\left[1-(1-4a+4a^2)\right]\\ & =\frac{1}{2}\rho A{V}_1^3(1-a)(4a-4a^2)\\ & =2\rho A{V}_1^{3}a(1-a{)}^2\end{array}$$ $$\boxed{P=2\rho A{V}_1^{3}a(1-a{)}^2}$$

(5)
$P$ を $a$ について微分し極値を求める。

$$\begin{array}{rl}\frac{dP}{da}& =2\rho A{V}_1^3\left[(1-a{)}^2+a\cdot 2(1-a)(-1)\right]\\ & =2\rho A{V}_1^3(1-a)(1-3a)\end{array}$$

$\frac{dP}{da}=0$ となるのは $a=1,\frac{1}{3}$ のときである。物理的意味から $0<a<\frac{1}{2}$ であるため、$a=\frac{1}{3}$ のとき極大かつ最大となる。

$$P_{\max }=2\rho A{V}_1^3\left(\frac{1}{3}\right){\left(1-\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{8}{27}\rho A{V}_1^3$$ $$\boxed{P_{\max }=\frac{8}{27}\rho A{V}_1^3}$$

面積 $A$ を風速 $V_1$ で通過する風力エネルギー $E$ は、

$$E=\frac{1}{2}(\rho A{V}_1)V_1^2=\frac{1}{2}\rho A{V}_1^3$$

風車の理論的効率 $\eta$ は、

$$\eta =\frac{P_{\max }}{E}=\frac{\frac{8}{27}\rho A{V}_1^3}{\frac{1}{2}\rho A{V}_1^3}=\frac{16}{27}$$ $$\boxed{\eta =\frac{16}{27}}$$

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这段题目推导的是风力发电机领域非常著名的贝茨极限。主要考察了流体力学中控制体分析的三大守恒定律：质量守恒、动量守恒和能量守恒。在第一问中，流体对风机施加的推力可以由控制体内动量流率的改变直接求得；第二问则通过在叶轮上游和下游分别应用伯努利方程，计算出因风机做功导致的压力跃变。结合这两问，可以巧妙地推导出流经风机叶轮的风速恰好是无穷远上游与下游风速的算术平均值这一重要结论。第四问通过引入轴向诱导因子a，将风机提取的功率表示为该因子的函数，其中a代表了风速在穿过风机时减速的程度。在最后一问中，通过简单的微分求极值，得出当风速减少三分之一时，风机能够提取的最大功率。此时的理论极限效率为16/27，即贝茨极限，它表明任何水平轴风力发电机都不可能将超过59.3%的自然风动能转化为机械能。