0365-2004 东大工 机械 P100

传热学 相变传热 斯特藩问题

下図のように，無限に広く，かつ深い容器に ${\theta }_0=273.15\text{K}$ の水が蓄えられ，その底が温度 ${\theta }_w[\text{K}](<{\theta }_0)$ に保たれている．時刻 $t$ において容器の底には一様な厚さ $h(t)$ の氷が形成される．容器の内部の水は静止しており，水の凝固が 273.15K で起こるものとして，以下の問いに答えよ．また，氷の熱伝導率を $\lambda [\text{W}/(\text{m K})]$，比熱を $C[\text{J}/(\text{kg K})]$，密度を $\rho [\text{kg}/{\text{m}}^3]$，凝固熱を $L[\text{J}/\text{kg}]$ とせよ．

(1) 容器の底を原点にとり，容器の底に垂直な方向に $x$ 軸をとる．氷中の温度を $\theta =\theta (x,t)(0<x<h(t))$ とするとき，$\theta$ に関する支配方程式と $x=0$，$x=h(t)$ における境界条件を書け．
(2) 容器の底が氷点下に保たれているため，氷から容器の底に向かって熱が奪われる．また，界面 $x=h(t)$ では，その熱量に相当する分だけ水が凝固して氷が生成される．氷の生成速度 $dh/dt$ を $\theta$ を用いた式で表せ．
(3) 氷の生成速度が非常に遅いときは，準定常の近似を用いることができ，(1)の方程式の非定常項を無視することが可能である．このときの $\theta$ の分布を求めよ．
(4) (2)と(3)の結果を用いて，時刻 $t$ における氷の厚さ $h(t)$ を求めよ．なお，時刻 $t=0$ において $h(t)=x_0$ とせよ．

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解答：

(1)
氷中における一次元非定常熱伝導を考える。
支配方程式は熱伝導方程式で与えられる。

$$\rho C\frac{\partial \theta }{\partial t}=\lambda \frac{{\partial }^2\theta }{\partial x^2}$$

境界条件として、$x=0$ では容器の底の温度 ${\theta }_w$、$x=h(t)$ では水の凝固点 ${\theta }_0$ となるため、以下のようになる。

$$\boxed{\begin{array}{rl}& \text{支配方程式：}\rho C\frac{\partial \theta }{\partial t}=\lambda \frac{{\partial }^2\theta }{\partial x^2}\\ & \text{境界条件：}\theta (0,t)={\theta }_w,\theta (h(t),t)={\theta }_0\end{array}}$$

(2)
界面 $x=h(t)$ において、水は凝固点 ${\theta }_0$ にあるため、水側からの熱伝導はない。
界面において単位面積あたりに発生する凝固熱は $\rho L\frac{dh}{dt}$ であり、これが氷側へ伝導する熱流束 $\lambda {\frac{\partial \theta }{\partial x}|}_{x=h(t)}$ に等しい（フーリエの法則より熱は温度の低い $x$ 軸負の方向へ流れるため、大きさの釣り合いをとる）。
エネルギー収支より、

$$\rho L\frac{dh}{dt}=\lambda {\frac{\partial \theta }{\partial x}|}_{x=h(t)}$$

よって、

$$\boxed{\frac{dh}{dt}=\frac{\lambda }{\rho L}{\frac{\partial \theta }{\partial x}|}_{x=h(t)}}$$

(3)
準定常状態を仮定し、支配方程式の非定常項 $\frac{\partial \theta }{\partial t}$ を無視する。

$$\frac{{\partial }^2\theta }{\partial x^2}=0$$

これを $x$ で2回積分すると、

$$\theta (x,t)=A(t)x+B(t)$$

境界条件 $\theta (0,t)={\theta }_w$ より、$B(t)={\theta }_w$。
境界条件 $\theta (h(t),t)={\theta }_0$ より、$A(t)h(t)+{\theta }_w={\theta }_0⟹A(t)=\frac{{\theta }_0-{\theta }_w}{h(t)}$。
これらを代入して分布を求める。

$$\boxed{\theta (x,t)=\frac{{\theta }_0-{\theta }_w}{h(t)}x+{\theta }_w}$$

(4)
(3)の温度分布を $x$ で偏微分すると、

$$\frac{\partial \theta }{\partial x}=\frac{{\theta }_0-{\theta }_w}{h(t)}$$

これを(2)で得られた式に代入する。

$$\frac{dh}{dt}=\frac{\lambda }{\rho L}\frac{{\theta }_0-{\theta }_w}{h(t)}$$

変数分離形として積分する。

$$h\cdot dh=\frac{\lambda ({\theta }_0-{\theta }_w)}{\rho L}dt$$ $$\int hdh=\int \frac{\lambda ({\theta }_0-{\theta }_w)}{\rho L}dt$$ $$\frac{1}{2}{h}^2=\frac{\lambda ({\theta }_0-{\theta }_w)}{\rho L}t+C$$

初期条件として $t=0$ のとき $h(0)=x_0$ であるから、

$$C=\frac{1}{2}{x}_0^2$$

したがって、

$$\frac{1}{2}h(t{)}^2=\frac{\lambda ({\theta }_0-{\theta }_w)}{\rho L}t+\frac{1}{2}{x}_0^2$$

$h(t)>0$ より、正の平方根をとって氷の厚さを得る。

$$\boxed{h(t)=\sqrt{\frac{2\lambda ({\theta }_0-{\theta }_w)}{\rho L}t+x_0^2}}$$

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这道题目是经典的单相相变传热问题，在热传导领域被称为斯特藩问题。解题的核心在于建立相界面处的能量守恒方程，也就是斯特藩边界条件。在这个问题中，上方的液态水已经处于凝固点，因此不需要考虑液相内部的温度梯度和显热变化，所有的凝固潜热完全由下方的固态冰层导走。通过傅里叶定律将界面处的温度梯度与冰层生长速度联系起来，即可得到界面移动的微分关系。

为了求出界面的解析解，题目引入了准稳态近似假设。这一假设在相变速度极慢且材料比热容导致的显热变化远小于相变潜热的场景下非常有效，它允许我们将复杂的非稳态抛物型偏微分方程简化为空间坐标的常微分方程。由此得到的冰层内部温度分布在任意时刻都保持为线性，随后再将这个线性梯度的斜率代回界面能量守恒方程中，即可把问题转化成一个可以通过分离变量法求解的一阶常微分方程。最终得到厚度随时间呈现平方根规律增长的解析解。