0363-2004 东大工 数学 P91

常微分方程 近似计算

(1) 必要に応じて $e=2.7183,\ln 2=0.69315,\ln 3=1.0986,\ln 10=2.3026$ を用いて、$e^{3.3}$ を4桁の精度で求めよ。

(2) 線形微分方程式 $y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=R(x)$ は、$P(x),Q(x),R(x)$ が $x=0$ においてテイラー展開可能であれば、$x=0$ においてテイラー級数に展開可能な解をもつ。このことを利用して、次の微分方程式を $x=0$ のとき $y=1,y^{\prime }=0$ という初期条件のもとで解け。

$$y^{\prime \prime }-\frac{2x{y}^{\prime }}{1-x^2}+\frac{6y}{1-x^2}=0$$

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解答：
(1)
与えられた値より，$\ln 3=1.0986$ である。

$$\ln 27=3\ln 3=3\times 1.0986=3.2958$$

これを用いると、$e^{3.3}$ は次のように変形できる。

$$\begin{array}{rl}{e}^{3.3}& =e^{3.2958+0.0042}\\ & =e^{\ln 27}\cdot e^{0.0042}\\ & =27e^{0.0042}\end{array}$$

$x=0.0042$ は $0$ に十分近いため、マクローリン展開 $e^x\approx 1+x$ を用いて近似する。

$$e^{0.0042}\approx 1+0.0042=1.0042$$

したがって、

$$e^{3.3}\approx 27\times 1.0042=27+0.1134=27.1134$$

4桁の精度（有効数字4桁）で求めると、

$$\boxed{27.11}$$

(2)
微分方程式の両辺に $1-x^2$ を掛けると、

$$(1-x^2)y^{\prime \prime }-2x{y}^{\prime }+6y=0$$

$y(x)$ が $x=0$ においてテイラー級数展開可能であるとし、次のように置く。

$$y=\sum _{k=0}^{\infty }{c}_k{x}^k$$

これを微分すると、

$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }& =\sum _{k=1}^{\infty }k{c}_k{x}^{k-1}\\ y^{\prime \prime }& =\sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)c_k{x}^{k-2}\end{array}$$

微分方程式に代入する。

$$\sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)c_k{x}^{k-2}-\sum _{k=2}^{\infty }k(k-1)c_k{x}^k-2\sum _{k=1}^{\infty }k{c}_k{x}^k+6\sum _{k=0}^{\infty }{c}_k{x}^k=0$$

第1項の和の添字をずらし、各項の $x^k$ の係数をまとめる。

$$\sum _{k=0}^{\infty }\left\{(k+2)(k+1)c_{k+2}-k(k-1)c_k-2k{c}_k+6c_k\right\}{x}^k=0$$

任意の $x$ について成り立つため、$x^k$ の係数は $0$ となる。

$$\begin{array}{rl}(k+2)(k+1)c_{k+2}-(k^2+k-6)c_k& =0\\ (k+2)(k+1)c_{k+2}-(k+3)(k-2)c_k& =0\\ c_{k+2}& =\frac{(k+3)(k-2)}{(k+2)(k+1)}{c}_k\end{array}$$

初期条件 $y(0)=1,y^{\prime }(0)=0$ より、

$$c_0=1,c_1=0$$

漸化式を用いて係数を順次求める。
$k=0$ のとき、

$$c_2=\frac{3\cdot (-2)}{2\cdot 1}{c}_0=-3$$

$k=1$ のとき、

$$c_3=\frac{4\cdot (-1)}{3\cdot 2}{c}_1=0$$

$k=2$ のとき、

$$c_4=\frac{5\cdot 0}{4\cdot 3}{c}_2=0$$

$c_3=0$ より、すべての奇数項の係数は $0$ となる。
また、$c_4=0$ より、$k\ge 4$ のすべての偶数項の係数も $0$ となる。
したがって、求める解は

$$\boxed{y=1-3x^2}$$

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第一题考察了利用泰勒展开进行数值近似计算的能力。题目给出了几个特定数值的自然对数，解题的关键在于敏锐地观察到三的对数的三倍恰好是二十七的对数，且这个对数值非常接近给定的指数三点三。通过将指数拆分为对数部分和微小余量，可以将原问题转化为自然常数在接近零处的幂的计算。由于微小余量极小，直接使用麦克劳林级数的一阶线性近似即可达到极高的精度要求，最后根据题目要求的四位精度提取有效数字即可得出准确结果。

第二题是一道经典的利用幂级数求解常微分方程的问题，原方程本质上是勒让德微分方程在特定参数下的形式。解题方法是假定解可以展开为麦克劳林级数，并将其各阶导数代入去分母化简后的微分方程中。通过统一求和符号的幂次合并同类项并提取系数，可以推导出行之有效的各项系数的递推关系式。结合给定的两个初始条件，能够逐项计算出级数的具体系数。在这个特定的方程中，奇数项系数因初始导数值为零而全部消失，偶数项系数则在计算到四次项时因分子出现零因子而发生完全截断，从而使原本无限的级数退化为一个极其工整的多项式精确解。