0362-2004 东大工 数学 P91

线性代数 特征值与特征向量 矩阵的幂 相似矩阵

(1) 次の行列 $A$ の全ての固有値とノルム1の固有ベクトルを求めよ。

$$A=\left[\begin{array}{ccc}-1& -3& 4\\ 5& 8& -5\\ 6& 7& -3\end{array}\right]$$

(2) 次の行列 $B$ は，正則行列 $P$ および (1) で定義された行列 $A$ を用いて $P^{-1}BP=A$ と表せる。このとき $a$, $b$ の満たすべき条件を求めよ。

$$B=\left[\begin{array}{ccc}a& b+5& -7\\ -10& -7& 10\\ 2& b& 1\end{array}\right]$$

(3) (1) で定義された行列 $A$ に対して，$A^n$ を求めよ。ただし $n$ は自然数である。

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解答：
(1)
行列 $A$ の固有方程式は、

$$\begin{array}{rl}|A-\lambda I|& =\left|\begin{array}{ccc}-1-\lambda & -3& 4\\ 5& 8-\lambda & -5\\ 6& 7& -3-\lambda \end{array}\right|\\ & =(-1-\lambda )\{(8-\lambda )(-3-\lambda )-35\}+3\{-5(3+\lambda )+30\}+4\{35-6(8-\lambda )\}\\ & =(-1-\lambda )({\lambda }^2-5\lambda -11)+3(-5\lambda +15)+4(6\lambda -13)\\ & =-{\lambda }^3+4{\lambda }^2+3\lambda -18\\ & =-(\lambda +2)(\lambda -3{)}^2=0\end{array}$$

したがって、固有値は $\lambda =-2,3$（重解）である。

$\lambda =-2$ のときの固有ベクトルを求める。

$$(A+2I)\mathbf{x}=\left[\begin{array}{ccc}1& -3& 4\\ 5& 10& -5\\ 6& 7& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$

係数行列を行基本変形すると、

$$\left[\begin{array}{ccc}1& -3& 4\\ 5& 10& -5\\ 6& 7& -1\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccc}1& -3& 4\\ 1& 2& -1\\ 6& 7& -1\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 0& -5& 5\\ 0& -5& 5\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$

$x+z=0,y-z=0$ より、固有ベクトルは $c_1{\left[\begin{array}{ccc}-1& 1& 1\end{array}\right]}^T$ ($c_1\ne 0$)。
ノルムを1にするため、大きさを $\sqrt{(-1{)}^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}$ で割る。
よって、ノルム1の固有ベクトルは $\pm \frac{1}{\sqrt{3}}\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\end{array}\right]$。

$\lambda =3$ のときの固有ベクトルを求める。

$$(A-3I)\mathbf{x}=\left[\begin{array}{ccc}-4& -3& 4\\ 5& 5& -5\\ 6& 7& -6\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$

係数行列を行基本変形すると、

$$\left[\begin{array}{ccc}-4& -3& 4\\ 5& 5& -5\\ 6& 7& -6\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccc}-4& -3& 4\\ 1& 1& -1\\ 6& 7& -6\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]\to \left[\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$

$x-z=0,y=0$ より、固有ベクトルは $c_2{\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 1\end{array}\right]}^T$ ($c_2\ne 0$)。
ノルムを1にするため、大きさを $\sqrt{1^2+0^2+1^2}=\sqrt{2}$ で割る。
よって、ノルム1の固有ベクトルは $\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right]$。

(2)
$P^{-1}BP=A$ より、行列 $A$ と $B$ は相似である。相似な行列のトレース（対角成分の和）は等しいため、

$$\mathrm{tr}(A)=-1+8-3=4$$ $$\mathrm{tr}(B)=a-7+1=a-6$$

したがって、$a-6=4⟹a=10$ である。

また、相似な行列は各固有値の幾何学的重複度（固有空間の次元）も一致しなければならない。(1) より、行列 $A$ の固有値 $\lambda =3$ に対する固有空間の次元は $3-\mathrm{rank}(A-3I)=3-2=1$ である。
行列 $B$ の固有値 $\lambda =3$ に対応する行列 $B-3I$ を考える。

$$B-3I=\left[\begin{array}{ccc}7& b+5& -7\\ -10& -10& 10\\ 2& b& -2\end{array}\right]$$

幾何学的重複度が $1$ となるためには、$\mathrm{rank}(B-3I)=2$ を満たす必要がある。行基本変形を行うと、

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 7& b+5& -7\\ 2& b& -2\end{array}\right]\stackrel{\text{第2行}-7\times \text{第1行},\text{ 第3行}-2\times \text{第1行}}{\to }\left[\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 0& b-2& 0\\ 0& b-2& 0\end{array}\right]$$

$\mathrm{rank}(B-3I)=2$ となる条件は $b-2\ne 0$ である。
よって、求める条件は

$$\boxed{a=10,b\ne 2}$$

(3)
行列 $A$ は $\lambda =3$ において代数的重複度が $2$、幾何学的重複度が $1$ であるため対角化不可能である。スペクトル分解を用いて $A^n$ を求める。
最小多項式が $(x-3{)}^2(x+2)$ であることから、部分分数分解により

$$\frac{1}{(x-3{)}^2(x+2)}=\frac{\frac{1}{25}}{x+2}+\frac{-\frac{x}{25}+\frac{7}{25}}{(x-3{)}^2}$$

これより恒等式 $1=\frac{1}{25}(x-3{)}^2+\frac{1}{25}(-x+7)(x+2)$ を得る。行列 $A$ を代入し、射影行列 $E_2,E_1$ を次のように定める。

$$\begin{array}{rl}{E}_2& =\frac{1}{25}(A-3I{)}^2=\frac{1}{25}{\left[\begin{array}{ccc}-4& -3& 4\\ 5& 5& -5\\ 6& 7& -6\end{array}\right]}^2=\frac{1}{25}\left[\begin{array}{ccc}25& 25& -25\\ -25& -25& 25\\ -25& -25& 25\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ -1& -1& 1\\ -1& -1& 1\end{array}\right]\\ E_1& =I-E_2=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]-\left[\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ -1& -1& 1\\ -1& -1& 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 1\\ 1& 2& -1\\ 1& 1& 0\end{array}\right]\end{array}$$

べき零行列 $N$ は $N=(A-3I)E_1$ で与えられる（$N^2=O$）。

$$N=\left[\begin{array}{ccc}-4& -3& 4\\ 5& 5& -5\\ 6& 7& -6\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 1\\ 1& 2& -1\\ 1& 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 0& 0& 0\\ 1& 2& -1\end{array}\right]$$

行列 $A$ は $A=-2E_2+3E_1+N$ と分解でき、$E_1,E_2,N$ は互いに可換であり $E_1{E}_2=O,E_i^2=E_i$ などの直交性を持つため、$A^n$ は以下のように計算できる。

$$\begin{array}{rl}{A}^n& =(-2{)}^n{E}_2+3^n{E}_1+n{3}^{n-1}N\\ & =(-2{)}^n\left[\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ -1& -1& 1\\ -1& -1& 1\end{array}\right]+3^n\left[\begin{array}{ccc}0& -1& 1\\ 1& 2& -1\\ 1& 1& 0\end{array}\right]+n{3}^{n-1}\left[\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 0& 0& 0\\ 1& 2& -1\end{array}\right]\end{array}$$

各成分をまとめると、

$$\boxed{A^n=\left[\begin{array}{ccc}(-2{)}^n+n{3}^{n-1}& (-2{)}^n-3^n+2n{3}^{n-1}& -(-2{)}^n+3^n-n{3}^{n-1}\\ -(-2{)}^n+3^n& -(-2{)}^n+2\cdot 3^n& (-2{)}^n-3^n\\ -(-2{)}^n+3^n+n{3}^{n-1}& -(-2{)}^n+3^n+2n{3}^{n-1}& (-2{)}^n-n{3}^{n-1}\end{array}\right]}$$

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这是一道非常经典的线性代数综合题。第一问常规地求解特征值与特征向量，在求解过程中发现 $\lambda =3$ 是代数重数为 2 的重根，而对应特征矩阵的秩为 2，这意味着其几何重数仅为 1，即无法找到足够多的线性无关特征向量，矩阵 $A$ 属于“亏损矩阵”，不可对角化。第二问考察了相似矩阵的性质。两个矩阵相似的必要条件是拥有相同的迹（Trace）、行列式以及特征多项式，通过迹相等可以瞬间秒杀求出参数 $a$。同时相似矩阵必然拥有相同的若尔当标准型，因此对应同一个特征值的几何重数必须完全一致，利用矩阵 $B-3I$ 的秩必须为 2 这一条件，排除了 $b=2$ 的情况。

第三问是全题的难点，因为矩阵不可对角化，不能使用简单的 $P^{-1}{D}^{n}P$ 方式求解方阵的幂。常用的替代方法是利用 Cayley-Hamilton 定理带余除法，由于最小多项式为 $(x-3{)}^2(x+2)$，余式需设为二次多项式 $c{x}^2+dx+e$，代入特征值及导数可以解出系数。不过本题解答中展示了更加高阶且直接的 谱分解 (Spectral Decomposition) 法：利用特征多项式互素部分的投影矩阵 $E_1,E_2$ 将全空间正交分解，并提取出幂零矩阵 $N$。这种方法从多项式的部分分式展开切入，计算极其规整且不易出错，直接应用公式 $A^n={\lambda }_1^n{E}_2+{\lambda }_2^n{E}_1+n{\lambda }_2^{n-1}N$ 即可降维打击得到终极矩阵形式。