0361-2004 东大工 数学 P90

微分积分 向量分析 曲面面积 主曲率 法截面

曲面$S$上の点$(x,y,z)$は，パラメータ$\theta$と$\phi$を用いて次式で与えられる。

$$\{\begin{array}{l}x=(a+b\cos \phi )\cos \theta \\ y=(a+b\cos \phi )\sin \theta \\ z=b\sin \phi \end{array}$$

ただし $0\le \theta <2\pi$, $0\le \phi <2\pi$ であり，$a$, $b$ は $a>b$ を満たす正の定数である。
この曲面$S$に関して，以下の問いに答えよ。

(1) 平面 $y=0$ と曲面 $S$ の交線を $xz$ 平面上に図示せよ。また，平面 $z=0$ と曲面 $S$ の交線を $xy$ 平面上に図示せよ。

(2) 曲面 $S$ の全表面積を求めよ。

(3) $x$ 軸を含む平面 $T$ と曲面 $S$ との交線を考える。$2b>a$ の条件が満たされるとき，点 $P(a-b,0,0)$ における交線の曲率の絶対値を最大にする平面 $T$ の方程式と，そのときの曲率の絶対値を求めよ。

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解答：
(1)
平面 $y=0$ のとき，$(a+b\cos \phi )\sin \theta =0$ である。
$a>b>0$ より $a+b\cos \phi >0$ となるため，$\sin \theta =0$ すなわち $\theta =0,\pi$ を得る。
$\theta =0$ のとき，$x=a+b\cos \phi ,z=b\sin \phi$ より $(x-a{)}^2+z^2=b^2$。
$\theta =\pi$ のとき，$x=-(a+b\cos \phi ),z=b\sin \phi$ より $(x+a{)}^2+z^2=b^2$。
したがって，$xz$ 平面上の交線は以下の2つの円となる。

$$\boxed{\begin{array}{rl}(x-a{)}^2+z^2& =b^2\\ (x+a{)}^2+z^2& =b^2\end{array}}$$

平面 $z=0$ のとき，$b\sin \phi =0$ より $\phi =0,\pi$ を得る。
$\phi =0$ のとき，$x=(a+b)\cos \theta ,y=(a+b)\sin \theta$ より $x^2+y^2=(a+b{)}^2$。
$\phi =\pi$ のとき，$x=(a-b)\cos \theta ,y=(a-b)\sin \theta$ より $x^2+y^2=(a-b{)}^2$。
したがって，$xy$ 平面上の交線は以下の2つの同心円となる。

$$\boxed{\begin{array}{rl}{x}^2+y^2& =(a+b{)}^2\\ x^2+y^2& =(a-b{)}^2\end{array}}$$

(2)
曲面 $S$ の位置ベクトルを $\mathbf{r}(\theta ,\phi )$ とする。偏微分は以下の通りである。

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{r}}_{\theta }& =(-(a+b\cos \phi )\sin \theta ,(a+b\cos \phi )\cos \theta ,0)\\ {\mathbf{r}}_{\phi }& =(-b\sin \phi \cos \theta ,-b\sin \phi \sin \theta ,b\cos \phi )\end{array}$$

外積を計算すると，

$${\mathbf{r}}_{\theta }\times {\mathbf{r}}_{\phi }=(b(a+b\cos \phi )\cos \phi \cos \theta ,b(a+b\cos \phi )\cos \phi \sin \theta ,b(a+b\cos \phi )\sin \phi )$$

その大きさは，

$$|{\mathbf{r}}_{\theta }\times {\mathbf{r}}_{\phi }|=b(a+b\cos \phi )$$

全表面積 $A$ は，

$$\begin{array}{rl}A& ={\int }_0^{2\pi }{\int }_0^{2\pi }|{\mathbf{r}}_{\theta }\times {\mathbf{r}}_{\phi }|d\theta d\phi \\ & ={\int }_0^{2\pi }2\pi b(a+b\cos \phi )d\phi \\ & =2\pi b{\left[a\phi +b\sin \phi \right]}_0^{2\pi }\\ & =4{\pi }^{2}ab\end{array}$$

よって，

$$\boxed{4{\pi }^{2}ab}$$

(3)
点 $P(a-b,0,0)$ は $(\theta ,\phi )=(0,\pi )$ に対応する。
この点における第一基本量 $E,F,G$ および第二基本量 $L,M,N$ を求める。
${\mathbf{r}}_{\theta }=(0,a-b,0),{\mathbf{r}}_{\phi }=(0,0,-b)$ より，

$$E={\mathbf{r}}_{\theta }\cdot {\mathbf{r}}_{\theta }=(a-b{)}^2,F=0,G={\mathbf{r}}_{\phi }\cdot {\mathbf{r}}_{\phi }=b^2$$

単位法線ベクトル $\mathbf{n}$ は $\mathbf{n}=\frac{{\mathbf{r}}_{\theta }\times {\mathbf{r}}_{\phi }}{|{\mathbf{r}}_{\theta }\times {\mathbf{r}}_{\phi }|}=(-1,0,0)$ である。
2階偏微分を $(\theta ,\phi )=(0,\pi )$ で評価すると，

$${\mathbf{r}}_{\theta \theta }=(-(a-b),0,0),{\mathbf{r}}_{\theta \phi }=(0,0,0),{\mathbf{r}}_{\phi \phi }=(b,0,0)$$

よって，

$$L={\mathbf{r}}_{\theta \theta }\cdot \mathbf{n}=a-b,M=0,N={\mathbf{r}}_{\phi \phi }\cdot \mathbf{n}=-b$$

主曲率 ${\kappa }_1,{\kappa }_2$ は，$F=M=0$ より以下となる。

$${\kappa }_1=\frac{L}{E}=\frac{1}{a-b},{\kappa }_2=\frac{N}{G}=-\frac{1}{b}$$

平面 $T$ は $x$ 軸を含むため，点 $P$ における曲面 $S$ の法線 $\mathbf{n}$ も含まれる。したがって，平面 $T$ による交線は法截線である。
オイラーの公式より，法截線の曲率 $\kappa$ は主方向からの角度 $\alpha$ を用いて $\kappa ={\kappa }_1{\cos }^2\alpha +{\kappa }_2{\sin }^2\alpha$ と表される。
曲率の絶対値の最大値は $\max (|{\kappa }_1|,|{\kappa }_2|)$ である。
$2b>a$ および $a>b>0$ の条件より，$0<a-b<b$ であるから $\frac{1}{a-b}>\frac{1}{b}$ となる。
したがって，曲率の絶対値の最大値は $\frac{1}{a-b}$ であり，これを達成するのは ${\kappa }_1$ に対応する主方向（${\mathbf{r}}_{\theta }$ と平行な $y$ 軸方向）である。
最大値を与える平面 $T$ は $x$ 軸および $y$ 軸を含むため，$xy$ 平面となる。

$$\boxed{\begin{array}{rl}& \text{平面 }T\text{ の方程式：}z=0\\ & \text{曲率の絶対値の最大値：}\frac{1}{a-b}\end{array}}$$

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本题是关于微分几何中经典的三维空间环面（Torus）的参数方程分析。第一问要求求出特定平面下的截面曲线，通过代入 $y=0$ 和 $z=0$，可以非常直观地得到环面在垂直方向上的两个截面圆以及水平方向上的两个同心圆，这体现了旋转面的基本几何特征。第二问求解曲面面积，运用了曲面面积积分的经典公式，通过计算位置向量的偏导数及其叉乘的模长，完成双重积分即可得出答案。除了直接积分外，也可以利用帕普斯-古尔丁定理（Pappus-Guldinus theorem），将母线圆的周长 $2\pi b$ 乘上圆心旋转的路径长 $2\pi a$，快速验证 $4{\pi }^{2}ab$ 这一结果。

第三问考查了法截线曲率的极值问题以及欧拉公式（Euler’s formula）的应用。解题的核心在于识别出“包含 $x$ 轴的平面 $T$”实际上在点 $P$ 处恰好包含了曲面的法线向量。因此，平面 $T$ 与曲面的交线就是法截线。计算出该点的两个主曲率后，根据题目给出的参数不等式关系 $2b>a$ 判断出绝对值最大的主曲率。最后，由最大主曲率对应的切向量方向（$y$ 轴方向）与法线方向（$x$ 轴方向）张成的平面，即可直接写出平面 $T$ 的方程。整个过程不需要繁琐的函数求导找极值，而是依赖对几何不变量和主曲率几何意义的深刻理解。