0359-2004 东大工 数学 P89

傅里叶与拉普拉斯变换 傅里叶变换性质 卷积定理

関数 $f(x)$ のフーリエ変換 $F(\omega )$ は次式で与えられる。ただし，$i$ は虚数単位である。

$$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-i\omega x}dx$$

(1) $F(\omega )$ を用いて次式を表せ。ただし，$x_0$ は実数の定数である。

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x-x_0)e^{-i\omega x}dx$$

(2) 関数 $f(x)$ を次式で定義する。ただし，$0<a$ である。

$$f(x)=1-\frac{|x|}{a}(|x|\le a)$$ $$f(x)=0(a<|x|)$$

このとき $F(\omega )$ を求めよ。

(3) 関数 $g(x)$ が，前問で定義した $f(x)$ を用いて次式で表されるとき，$g(x)$ のフーリエ変換 $G(\omega )$ を級数および $i$ を含まない形で求めよ。

$$g(x)=f(x+n{x}_0)+f(x+(n-1)x_0)+\cdots +f(x)+\cdots +f(x-(n-1)x_0)+f(x-n{x}_0)$$

ただし，$x_0(0<a<x_0)$ は実数の定数，$n$ は自然数である。

(4) 関数 $h_1(x)$ のフーリエ変換を $H_1(\omega )$，関数 $h_2(x)$ のフーリエ変換を $H_2(\omega )$ としたとき，次式を証明せよ。

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }{h}_1(x)h_2(x)e^{-i\omega x}dx=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{H}_1({\omega }_1)H_2(\omega -{\omega }_1)d{\omega }_1$$

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解答：

(1)

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x-x_0)e^{-i\omega x}dx$$

変数変換 $y=x-x_0$ を行うと，$dx=dy$ であり，積分区間は変わらない。

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(y)e^{-i\omega (y+x_0)}dy& =e^{-i\omega x_0}{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(y)e^{-i\omega y}dy\\ & =e^{-i\omega x_0}F(\omega )\end{array}$$ $$\boxed{e^{-i\omega x_0}F(\omega )}$$

(2)

定義より，

$$\begin{array}{rl}F(\omega )& ={\int }_{-a}^a\left(1-\frac{|x|}{a}\right)e^{-i\omega x}dx\\ & ={\int }_{-a}^a\left(1-\frac{|x|}{a}\right)(\cos (\omega x)-i\sin (\omega x))dx\end{array}$$

$1-\frac{|x|}{a}$ は偶関数，$\cos (\omega x)$ は偶関数，$\sin (\omega x)$ は奇関数であるため，虚数部の積分は $0$ となる。

$$\begin{array}{rl}F(\omega )& =2{\int }_0^a\left(1-\frac{x}{a}\right)\cos (\omega x)dx\\ & =2{\left[\left(1-\frac{x}{a}\right)\frac{\sin (\omega x)}{\omega }\right]}_0^a-2{\int }_0^a\left(-\frac{1}{a}\right)\frac{\sin (\omega x)}{\omega }dx\\ & =\frac{2}{a\omega }{\int }_0^a\sin (\omega x)dx\\ & =\frac{2}{a\omega }{\left[-\frac{\cos (\omega x)}{\omega }\right]}_0^a\\ & =\frac{2(1-\cos (a\omega ))}{a{\omega }^2}\end{array}$$ $$\boxed{F(\omega )=\frac{2(1-\cos (a\omega ))}{a{\omega }^2}}$$

(3)

フーリエ変換の線形性と(1)の結果を用いると，$g(x)$ のフーリエ変換 $G(\omega )$ は以下のようになる。

$$\begin{array}{rl}G(\omega )& =\sum _{k=-n}^n{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x-k{x}_0)e^{-i\omega x}dx\\ & =\sum _{k=-n}^n{e}^{-ik\omega x_0}F(\omega )\end{array}$$

等比数列の和の公式を利用して変形する。

$$\begin{array}{rl}G(\omega )& =F(\omega )\frac{e^{in\omega x_0}-e^{-i(n+1)\omega x_0}}{1-e^{-i\omega x_0}}\\ & =F(\omega )\frac{e^{i(n+\frac{1}{2})\omega x_0}-e^{-i(n+\frac{1}{2})\omega x_0}}{e^{i\frac{\omega x_0}{2}}-e^{-i\frac{\omega x_0}{2}}}\\ & =F(\omega )\frac{2i\sin \left((n+\frac{1}{2})\omega x_0\right)}{2i\sin \left(\frac{\omega x_0}{2}\right)}\\ & =F(\omega )\frac{\sin \left((n+\frac{1}{2})\omega x_0\right)}{\sin \left(\frac{\omega x_0}{2}\right)}\end{array}$$

(2)の結果を代入する。

$$\boxed{\begin{array}{r}G(\omega )=\frac{2(1-\cos (a\omega ))}{a{\omega }^2}\frac{\sin \left((n+\frac{1}{2})\omega x_0\right)}{\sin \left(\frac{\omega x_0}{2}\right)}\end{array}}$$

(4)

逆フーリエ変換の定義より，

$$h_1(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{H}_1({\omega }_1)e^{i{\omega }_{1}x}d{\omega }_1$$

これを左辺に代入し，積分の順序を交換する。

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-\infty }^{+\infty }{h}_1(x)h_2(x)e^{-i\omega x}dx& ={\int }_{-\infty }^{+\infty }\left(\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{H}_1({\omega }_1)e^{i{\omega }_{1}x}d{\omega }_1\right)h_2(x)e^{-i\omega x}dx\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{H}_1({\omega }_1)\left({\int }_{-\infty }^{+\infty }{h}_2(x)e^{-i(\omega -{\omega }_1)x}dx\right)d{\omega }_1\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }{H}_1({\omega }_1)H_2(\omega -{\omega }_1)d{\omega }_1\end{array}$$

(証明終)

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这道题目系统地考查了傅里叶变换的各种核心性质及具体函数变换的计算推导过程，在第一小问中，通过简单的积分换元证明了时域平移定理，揭示了信号在时间轴上的延迟等效于在频域中乘以一个线性相移因子的现象，第二小问要求计算标准三角形脉冲的傅里叶变换，利用被积函数的奇偶性巧妙消去了虚部积分，再结合分部积分法可直接得到包含辛格函数平方特征的实数结果，第三小问将前两问结合，探讨了周期性重复脉冲序列的截断变换，解题关键在于将复指数序列的和视为等比数列，提取出半角复指数项后运用欧拉公式转换为正弦函数的比值形式，从而彻底消去了虚数单位并避免了无穷级数的表达，第四小问则是经典的频域卷积定理的证明，借助傅里叶逆变换表达式将时域乘积展开，并在假定积分绝对收敛的前提下交换二重积分的顺序，直接利用傅里叶变换定义提取出内层积分，使得结果自然过渡为两个频谱函数的卷积形式，整个求解过程环环相扣，物理意义与数学推导结合得十分紧密。