0358-2004 东大工 数学 P88

概率统计 数列

A4サイズの紙を2枚用意し，長辺をつなぎ合わせると，A3サイズの紙ができる。一般に，A(n+1)サイズの紙を2枚用意し，長辺をつなぎ合わせると，Anサイズの紙ができる。ただし $n=0,1,2,3,\cdots$ である。Anサイズの紙の面積を $S_{An}$ とすると，A0サイズの紙の面積 $S_{A0}$ は 1 ${\text{m}}^2$ である。
同様にB(n+1)サイズの紙を2枚用意し，長辺をつなぎ合わせると，Bnサイズの紙ができる。しかしBnサイズの紙はAnサイズより一回り大きく，B0サイズの紙の面積 $S_{B0}$ は 1.5 ${\text{m}}^2$ である。
以下の問いに答えよ。解答にあたっては導出過程も示せ。

(1) Anサイズ ($n=0,1,2,3,\cdots$) の紙の長辺および短辺を，それぞれ ${\ell }_{An}$ および $m_{An}$ とするとき，${\ell }_{An}$ および $m_{An}$ を $n$ の関数として求めよ。

(2) $S_{An}$ を $n$ の関数として求め，さらに $\sum _{k=1}^n{S}_{Ak}$ を求めよ。また，$\sum _{k=1}^{\infty }{\ell }_{Ak}$ を求めよ。

(3) A1, A2, A3, $\cdots$, Akサイズの紙をそれぞれ1枚ずつ合計 $k$ 枚用意し，この中から無作為に1枚選ぶ場合，紙の面積の期待値 $P$ を $k$ の関数として表せ。また，$P<1/4{\text{ m}}^2$ となる $k$ を求めよ。

(4) A1, A2, A3, A4, A5サイズの紙をそれぞれ1枚ずつ用意し，この中から無作為に2枚選び，また，B1, B2, B3, B4, B5サイズの紙をそれぞれ1枚ずつ用意してこの中から無作為に1枚選ぶ。選んだAサイズ紙2枚の面積の合計が，選んだBサイズ紙1枚の面積未満になる確率 $Q$ を求めよ。

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解答：
(1)
A判の用紙は互いに相似であるとし、長辺と短辺の比を $r={\ell }_{An}/m_{An}>1$ とする。
${\text{A}}_{n+1}$ の紙2枚を長辺 ${\ell }_{A(n+1)}$ でつなぐと、辺の長さが ${\ell }_{A(n+1)}$ および $2m_{A(n+1)}$ の長方形ができる。これが ${\text{A}}_n$ の辺となる。
相似比が一定であるから、長辺と短辺は交替し、

$${\ell }_{An}=2m_{A(n+1)},m_{An}={\ell }_{A(n+1)}$$

となる。これより、

$$r=\frac{{\ell }_{An}}{m_{An}}=\frac{2m_{A(n+1)}}{{\ell }_{A(n+1)}}=\frac{2}{r}⟹r^2=2⟹r=\sqrt{2}$$

各サイズの面積は前回の半分になるため、

$$S_{An}={\ell }_{An}{m}_{An}=S_{A0}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=2^{-n}$$

${\ell }_{An}=\sqrt{2}{m}_{An}$ を用いると、

$$\sqrt{2}{m}_{An}^2=2^{-n}⟹m_{An}=2^{-\frac{n}{2}-\frac{1}{4}}$$

また、${\ell }_{An}$ は、

$${\ell }_{An}=\sqrt{2}\cdot 2^{-\frac{n}{2}-\frac{1}{4}}=2^{-\frac{n}{2}+\frac{1}{4}}$$

よって、

$$\boxed{{\ell }_{An}=2^{-\frac{n}{2}+\frac{1}{4}},m_{An}=2^{-\frac{n}{2}-\frac{1}{4}}}$$

(2)
(1)より、

$$\boxed{S_{An}=2^{-n}}$$

等比数列の和の公式より、

$$\begin{array}{rl}\sum _{k=1}^n{S}_{Ak}& =\sum _{k=1}^n{2}^{-k}=\frac{\frac{1}{2}\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\right)}{1-\frac{1}{2}}\\ & =1-2^{-n}\end{array}$$

よって、

$$\boxed{\sum _{k=1}^n{S}_{Ak}=1-2^{-n}}$$

長辺の総和は、

$$\begin{array}{rl}\sum _{k=1}^{\infty }{\ell }_{Ak}& =\sum _{k=1}^{\infty }{2}^{\frac{1}{4}-\frac{k}{2}}=2^{\frac{1}{4}}\sum _{k=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}^k\\ & =2^{\frac{1}{4}}\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}=2^{\frac{1}{4}}\frac{1}{\sqrt{2}-1}\\ & =2^{\frac{1}{4}}(\sqrt{2}+1)=2^{\frac{3}{4}}+2^{\frac{1}{4}}\end{array}$$

よって、

$$\boxed{\sum _{k=1}^{\infty }{\ell }_{Ak}=2^{\frac{3}{4}}+2^{\frac{1}{4}}}$$

(3)
無作為に1枚選ぶときの面積の期待値 $P$ は面積の平均値であるから、

$$\begin{array}{rl}P& =\frac{1}{k}\sum _{i=1}^k{S}_{Ai}\\ & =\frac{1-2^{-k}}{k}\end{array}$$

よって、

$$\boxed{P=\frac{1-2^{-k}}{k}}$$

$P<\frac{1}{4}$ より、

$$\frac{1-2^{-k}}{k}<\frac{1}{4}⟹4-2^{2-k}<k$$

$k$ に自然数を代入して確認する。
$k=1:4-2=2\nless 1$
$k=2:4-1=3\nless 2$
$k=3:4-0.5=3.5\nless 3$
$k=4:4-0.25=3.75<4$ (成立)
$k\ge 4$ のとき、$2^{2-k}>0$ であるため $k>4>4-2^{2-k}$ となり常に成立する。
よって、

$$\boxed{k\ge 4(k\text{は整数})}$$

(4)
各サイズの面積は $S_{An}=2^{-n}$、$S_{Bn}=1.5\times 2^{-n}=3\times 2^{-n-1}$ である。
$1/32{\text{ m}}^2$ を単位とすると、各面積は以下の整数となる。
${\text{A}}_1\sim {\text{A}}_5$: $16,8,4,2,1$
${\text{B}}_1\sim {\text{B}}_5$: $24,12,6,3,1.5$

Aサイズから2枚選ぶ組み合わせは $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}\right)=10$ 通りあり、その面積の合計は、
$(16,8)=24$
$(16,4)=20,(16,2)=18,(16,1)=17$
$(8,4)=12,(8,2)=10,(8,1)=9$
$(4,2)=6,(4,1)=5$
$(2,1)=3$

Bサイズ1枚（5通り）の面積未満となるAの2枚の組み合わせの数を数える。
B1 (24): $(16,8)$ 以外の $9$ 通り
B2 (12): $10,9,6,5,3$ の $5$ 通り
B3 (6): $5,3$ の $2$ 通り
B4 (3): $0$ 通り
B5 (1.5): $0$ 通り

条件を満たす組み合わせの総数は、

$$9+5+2=16\text{ 通り}$$

全ての組み合わせは $10\times 5=50$ 通りであるため、求める確率 $Q$ は、

$$Q=\frac{16}{50}=\frac{8}{25}$$

よって、

$$\boxed{Q=\frac{8}{25}}$$

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本题主要考察数列在实际生活中的应用以及古典概型的计算。在解答第一问时，题干并未直接给出A系列纸张各尺寸彼此相似的条件，但根据长边拼接得到上一号纸张的几何操作，通过假设相似即可严谨推导出其长宽比必定为白银比例，若不假设相似则无法唯一确定边长的解析式，这是解题的关键切入点。第二问和第三问主要涉及等比数列的前n项和与无穷递缩等比数列求和。在第三问求解不等式时，由于变量k代表纸张的数量，必定为正整数，因此直接通过代入前几个整数值来验证不等式的临界点，并结合指数部分的单调性说明结论，是处理此类离散变量不等式时非常直观且严谨的方法。第四问中，为了避免繁琐的分数加减法运算，巧妙地将所有纸张的面积转换为以三十二分之一平方米为基本单位的数值，极大地简化了穷举和大小比较的过程，从而快速准确地筛选出符合条件的事件数并计算出最终概率。