0355-2003 东大工 机械 P84

流体力学 边界层理论 动量积分方程

図1に示すように，速度$U$の一様流中に置かれた平板上において発達していく層流境界層を考える．この境界層に関して，以下の問いに答えよ．ただし，流体の密度を$\rho$，粘性係数を$\mu$，座標の原点を図1のように境界層の始まる平板の先端とし，平板に沿った方向に$x$座標，垂直方向に$y$座標をとるものとする．

(1) 境界層内の速度分布を次のように2次式で近似する．

$$u=a{y}^2+by+c$$
このとき，係数$a,b,c$の値を，壁面($y=0$)と境界層外縁($y=\delta$)での境界条件より決定する．係数$a,b,c$を決めるための境界条件は，次のように与えることができる．
(i) $y=0$で，[ (A) ]
(ii) $y=\delta$で，[ (B) ] および [ (C) ]
(a) (A),(B),(C)に入るべき式を答えよ．
(b) この境界条件のもと速度分布を計算し，平板上の壁面せん断応力${\tau }_w$を求めよ．

(2) 次に壁面せん断応力${\tau }_w$と，境界層の運動量厚さ$\theta$の関係について考える．
図2に示すような検査体積を考える．流れを2次元とし，紙面垂直方向($z$方向)については単位幅あたりで考える．また，非圧縮・定常の流れであるとする．
(a) 図2において上面$bc$より流入する質量流束${\dot{m}}_{bc}$は，質量保存の関係より

$${\dot{m}}_{bc}=\left\{\frac{\partial }{\partial x}\left({\int }_0^{\delta }\rho udy\right)\right\}dx$$
で与えられることを示せ．
(b) 次に，$x$方向の運動量保存を考える．壁面上の長さ$dx$を十分小さいとし，以下の問いに答えよ．
(b-1) 検査体積の左面$ab$より流入する単位時間あたりの運動量を，$\rho ,u,\delta$を用いて$y$方向に積分した形式で表せ．
(b-2) 上面$bc$から流入する単位時間あたりの運動量を，(a)の結果を考慮して求めよ．
(b-3) 下面$ad$に働く壁面せん断応力を${\tau }_w$とすると，
$$\frac{{\tau }_w}{\rho }=U^2\frac{d\theta }{dx}$$
で与えられることを示せ．
ただし，境界層の運動量厚さ$\theta$は，$\theta ={\int }_0^{\delta }\frac{u}{U}\left(1-\frac{u}{U}\right)dy$ で与えられる．
(ヒント：境界層の外側は$U$(一定)であることから，圧力は検査体積内で一定であると近似できる．)

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解答：
(1)
(a)
壁面($y=0$)での粘着条件より速度は0となる。境界層外縁($y=\delta$)では主流速度$U$に滑らかに接続するため、速度が$U$であり、かつ速度勾配が0となる。
(A): $\boxed{u=0}$
(B): $\boxed{u=U}$
(C): $\boxed{\frac{\partial u}{\partial y}=0}$ （順不同）

(b)
$u=a{y}^2+by+c$ に境界条件を代入する。
$y=0$で$u=0$より、

$$c=0$$
$y=\delta$で$u=U$より、
$$a{\delta }^2+b\delta =U$$
$y=\delta$で$\frac{\partial u}{\partial y}=0$より、$\frac{\partial u}{\partial y}=2ay+b$ であるから、
$$2a\delta +b=0\Rightarrow b=-2a\delta$$
これを代入して、
$$a{\delta }^2-2a{\delta }^2=-a{\delta }^2=U\Rightarrow a=-\frac{U}{{\delta }^2}$$
したがって、
$$b=-2\left(-\frac{U}{{\delta }^2}\right)\delta =\frac{2U}{\delta }$$
よって、速度分布は
$$\boxed{u=U\left[2\left(\frac{y}{\delta }\right)-{\left(\frac{y}{\delta }\right)}^2\right]}$$
壁面せん断応力${\tau }_w$はニュートンの粘性法則により求まる。
$${\tau }_w=\mu {\frac{\partial u}{\partial y}|}_{y=0}$$
$$\frac{\partial u}{\partial y}=U\left(\frac{2}{\delta }-\frac{2y}{{\delta }^2}\right)$$
$y=0$を代入して、
$$\boxed{{\tau }_w=\frac{2\mu U}{\delta }}$$

(2)
(a)
左面$ab$から流入する質量流量は

$${\dot{m}}_{ab}={\int }_0^{\delta }\rho udy$$
右面$cd$から流出する質量流量は
$${\dot{m}}_{cd}={\dot{m}}_{ab}+\frac{\partial {\dot{m}}_{ab}}{\partial x}dx={\int }_0^{\delta }\rho udy+\frac{\partial }{\partial x}\left({\int }_0^{\delta }\rho udy\right)dx$$
下面$ad$からの質量出入りはない。質量保存則より、定常流では検査体積内の質量変化はないため、上面$bc$から流入する質量流束${\dot{m}}_{bc}$は、右面から流出する質量から左面から流入する質量を引いたものに等しい。
$${\dot{m}}_{bc}={\dot{m}}_{cd}-{\dot{m}}_{ab}=\frac{\partial }{\partial x}\left({\int }_0^{\delta }\rho udy\right)dx$$
(証明終)

(b-1)
左面$ab$を通る微小面積$dy$の質量流量は$\rho udy$であり、その運動量は$u$を乗じた$\rho u^{2}dy$である。よって$y$方向に積分して、

$$\boxed{M_{ab}={\int }_0^{\delta }\rho u^{2}dy}$$

(b-2)
上面$bc$から流入する流体は境界層の外側から来るため、その$x$方向速度は$U$である。したがって流入する運動量は質量流束に$U$を乗じたものとなる。

$$\boxed{M_{bc}=U{\dot{m}}_{bc}=U\left\{\frac{\partial }{\partial x}\left({\int }_0^{\delta }\rho udy\right)\right\}dx}$$

(b-3)
右面$cd$から流出する運動量$M_{cd}$は

$$M_{cd}=M_{ab}+\frac{\partial M_{ab}}{\partial x}dx={\int }_0^{\delta }\rho u^{2}dy+\frac{\partial }{\partial x}\left({\int }_0^{\delta }\rho u^{2}dy\right)dx$$
$x$方向の運動量保存則（運動量定理）より、単位時間あたりの運動量の流出と流入の差は、検査体積に働く力に等しい。
検査体積内の圧力は一定と近似できるため、圧力による合力は0である。下面$ad$において流体は壁から$-x$方向にせん断応力${\tau }_w$の反作用を受ける。したがって合力は$-{\tau }_{w}dx$となる。
$$M_{cd}-(M_{ab}+M_{bc})=-{\tau }_{w}dx$$
$$\frac{\partial }{\partial x}\left({\int }_0^{\delta }\rho u^{2}dy\right)dx-U\frac{\partial }{\partial x}\left({\int }_0^{\delta }\rho udy\right)dx=-{\tau }_{w}dx$$
両辺を$dx$で割り、$U$は定数であるため微分の中に入れると、
$$\frac{\partial }{\partial x}\left({\int }_0^{\delta }\rho u^{2}dy\right)-\frac{\partial }{\partial x}\left({\int }_0^{\delta }\rho Uudy\right)=-{\tau }_w$$
$$-\frac{\partial }{\partial x}\left({\int }_0^{\delta }\rho u(U-u)dy\right)=-{\tau }_w$$
$${\tau }_w=\frac{\partial }{\partial x}\left(\rho U^2{\int }_0^{\delta }\frac{u}{U}\left(1-\frac{u}{U}\right)dy\right)$$
ここで、$\theta ={\int }_0^{\delta }\frac{u}{U}\left(1-\frac{u}{U}\right)dy$ であるから、
$${\tau }_w=\rho U^2\frac{d\theta }{dx}$$
両辺を$\rho$で割ると、
$$\frac{{\tau }_w}{\rho }=U^2\frac{d\theta }{dx}$$
(証明終)

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这道题目考察了流体力学中非常经典的平板层流边界层理论，主要涉及到冯·卡门动量积分方程的推导和边界层速度分布的近似。题目第一部分要求利用边界条件确定多项式近似的速度剖面。这里的核心在于理解壁面处的无滑移条件以及边界层外缘与主流速度平滑拼接的物理意义。通过设定的二次多项式可以得到切应力与边界层厚度之间的代数关系。第二部分引导通过选取微元控制体积来进行质量和动量守恒分析。控制体上下表面的通量不平衡是推导动量积分方程的关键，因为边界层不断增厚，必然导致有流体从主流区域被卷吸进入控制体，这部分流体带有主流的动量。基于常压近似，控制体唯一的受力来源于壁面摩擦力，结合流出与流入的动量差等于作用在控制体上的外力这一动量定理，自然可以推导出壁面切应力与动量厚度梯度之间的正比关系。动量积分方程的巧妙之处在于它避开了直接求解复杂的纳维-斯托克斯方程，通过对整个边界层厚度进行宏观积分，将偏微分方程转化为常微分方程来求解宏观参量。