0354-2003 东大工 机械 P83

传热学 热传导方程 无量纲数

（１）以下の文章は１次元非定常熱伝導方程式の算出について説明したものである．空欄を埋めよ．

　物体の内部に$\boxed{a}$が存在すると、高温の部分から低温の部分へ熱エネルギーが移動する．単位時間あたりの熱移動量 $q$ は，その場所の$\boxed{a}$に比例すると考えられ，座標を $x$，時刻を $t$，温度を $T(x,t)$，熱伝導率を $\lambda$，物体の断面積を $A$ とすると，$q=\boxed{b}$ と書くことができる．
　今，図に示すような幅 $\Delta x$ の微小要素でのエネルギーバランスを考える．まず，時間 $\Delta t$ の間に座標 $x$ において左から流入する熱量 $Q_1$ は $\boxed{b}$に $\Delta t$ を乗じたものに等しく，座標 $(x+\Delta x)$ で右から流出する熱量 $Q_2$ を同様に書いて，テイラー展開の１次の項まで残すと，$Q_2=Q_1+\boxed{c}$ と書くことができる．また，内部で単位時間・単位体積あたり $\dot{q}$ だけの発熱があると考えると，微小要素内では，時間 $\Delta t$ あたり $W=\boxed{d}$ だけの熱が発生する．一方，密度を $\rho$，比熱を $C$，温度変化を $\Delta T$ とすれば，微小要素内のエネルギーの変化は，$\Delta U=\boxed{e}$ である．以上から，エネルギー・バランスの式 $\Delta U=Q_1-Q_2+W$ を整理して，$\Delta t\to 0$ の極限として１次元非定常熱伝導方程式を書くと，$\boxed{f}$が得られる．
　次に，$\boxed{f}$を使って，加熱した平板（内部発熱なし）の両面を突然一定温度で冷却を始めた場合に，どのくらいの時間で温度が下がるかをおおざっぱに見積りたい．板の厚みを $D$ とし，偏微分方程式 $\boxed{f}$ のオーダー評価を行うと，冷却時間のオーダーは，$D^2\times \boxed{g}$ となる．ここで，$\boxed{g}$ の逆数は，$\boxed{h}$ と呼ばれる物性値である．

（２）以下の無次元数の定義，および，その物理的な意味を１００字以内で説明せよ．
(a) プラントル数
(b) ヌセルト数
(c) クヌッセン数

---

解答：

(1)
フーリエの法則により、熱エネルギーの移動は空間的な温度変化、すなわち温度勾配に起因して発生する。したがって、空欄 [a] には温度勾配が入る。

$$\text{[a]}=\boxed{\text{温度勾配}}$$

単位時間あたりの熱移動量（熱流量）$q$ は、断面積 $A$ と熱伝導率 $\lambda$、そして温度勾配を用いて次のように表される。

$$q=\boxed{-\lambda A\frac{\partial T}{\partial x}}$$

微小要素に対して、時間 $\Delta t$ の間に左側の面から流入する熱量 $Q_1$ は、単位時間あたりの熱流量 $q$ に時間 $\Delta t$ を乗じたものである。

$$Q_1=\boxed{q}\Delta t$$

右側の面から流出する熱量 $Q_2$ は、座標 $x+\Delta x$ における熱量をテイラー展開し、空間的な変化の１次の項まで残すことで近似できる。

$$Q_2=Q_1+\boxed{\frac{\partial q}{\partial x}\Delta x\Delta t}$$

微小要素内部での発熱による熱量 $W$ は、単位時間・単位体積あたりの発熱量 $\dot{q}$ に、微小要素の体積 $A\Delta x$ と時間 $\Delta t$ を乗じて得られる。

$$W=\boxed{\dot{q}A\Delta x\Delta t}$$

微小要素内の内部エネルギー変化 $\Delta U$ は、微小要素の質量 $\rho A\Delta x$、比熱 $C$、および温度変化 $\Delta T$ を用いて表される。

$$\Delta U=\boxed{\rho CA\Delta x\Delta T}$$

エネルギーバランスの式 $\Delta U=Q_1-Q_2+W$ にそれぞれの項を代入して整理する。

$$\begin{array}{rl}\rho CA\Delta x\Delta T& =q\Delta t-\left(q\Delta t+\frac{\partial q}{\partial x}\Delta x\Delta t\right)+\dot{q}A\Delta x\Delta t\\ & =-\frac{\partial q}{\partial x}\Delta x\Delta t+\dot{q}A\Delta x\Delta t\end{array}$$

ここで $q=-\lambda A\frac{\partial T}{\partial x}$ を代入し、両辺を微小体積要素と微小時間の積 $A\Delta x\Delta t$ で割る。

$$\rho C\frac{\Delta T}{\Delta t}=\frac{\partial }{\partial x}\left(\lambda \frac{\partial T}{\partial x}\right)+\dot{q}$$

$\Delta t\to 0$ の極限をとり、熱伝導率 $\lambda$ を空間的に一定とみなして整理すると、以下の１次元非定常熱伝導方程式 [f] が得られる。

内部発熱がない（$\dot{q}=0$）場合、方程式は $\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{\lambda }{\rho C}\frac{{\partial }^{2}T}{\partial x^2}$ となる。時間スケールを $t$、空間スケールを板の厚み $D$ として各項のオーダーを評価すると、以下の関係が成り立つ。

$$\frac{T}{t}\sim \frac{\lambda }{\rho C}\frac{T}{D^2}$$

これを時間 $t$ について解くと、冷却時間のオーダーが導かれる。

$$\text{冷却時間のオーダー}:D^2\times \boxed{\frac{\rho C}{\lambda }}$$

この $\frac{\rho C}{\lambda }$ の逆数である $\frac{\lambda }{\rho C}$ は、物質の温度の伝わりやすさを示す物性値である。

$$\text{逆数は}:\boxed{\text{熱拡散率}}\text{ (または温度伝導率)}$$

(2)
(a) プラントル数
定義：

$$Pr=\boxed{\frac{\nu }{\alpha }}$$

物理的な意味：

流体の運動量拡散率と熱拡散率の比を表し、速度境界層と温度境界層の厚さの相対的な割合を示す指標である。

(b) ヌセルト数
定義：

$$Nu=\boxed{\frac{hL}{\lambda }}$$

物理的な意味：
流体の熱伝導による熱移動に対する対流熱伝達による熱移動の比率を表し、壁面近傍での温度勾配の無次元化された値となる。

(c) クヌッセン数
定義：

$$Kn=\boxed{\frac{\Lambda }{L}}$$

物理的な意味：
気体分子の平均自由行程と代表長さの比である。連続体近似の妥当性を判定する指標であり、値が大きいほど希薄気体の性質が強い。

---

传热学中的热传导方程式基于能量守恒定律和傅里叶导热定律推导而来。在建立微小控制体的能量平衡时，通过计算流入与流出该微小体边界的热量之差，再结合内部热源的发热量，即可求得导致控制体内部能量变化的总净热量。对该能量守恒式进行时间和空间的取极限操作，便能严谨地得出偏微分方程形式的导热方程。对该方程应用量级分析法，能够极为直观且方便地估算出热传递过程所需的时间尺度大小。该时间尺度往往与材料的热扩散率成反比关系，热扩散率在物理本质上反映了材料内部温度趋于均匀化的响应速度。

此外，无量纲数在对流换热和流体力学的研究中发挥着核心作用，不仅能用来化简复杂的偏微分方程组，还能帮助提取出控制流动与传热的关键物理机制。普朗特数是完全由流体自身物性参数决定的无量纲数，它主导了流动边界层与热边界层在空间发展上的相对快慢程度。努塞尔数则是反映边界层内对流换热强度的核心无量纲参数，在工程计算中直接与对流换热系数相联系。克努森数则广泛应用于微纳尺度传热学以及稀薄气体动力学领域，通过比较气体分子平均自由程与特征宏观长度，作为判断能否继续将流体安全地视为连续介质进行宏观连续性方程推导的关键依据。