0353-2003 东大工 机械 P82

材料力学 梁 弯矩 静定与超静定

梁に関する以下の問いに答えよ．梁の断面二次モーメントを $I$，ヤング率を $E$ とせよ．また鉛直方向の拘束のみである単純支持を図1の記号で表し，鉛直方向の拘束と回転の拘束である固定支持を図2の記号で表すこととする．なお梁の自重は無視できるものとする．

(1) 図3に示す長さ $l$ の梁の左端Aに時計回り方向のモーメント $M_A$ が，右端Bに反時計回り方向のモーメント $M_B$ が作用している．

1. A点の支持反力 $R_A$ とB点の支持反力 $R_B$ を求めよ．
2. A点から梁に沿って $x$ 軸をとるものとする．曲げモーメントをA点からの距離 $x$ の関数として表せ．
3. A点でのたわみ角を求めよ．

(2) 不静定梁と静定梁の違いを説明せよ．

(3) 下記の(a)から(f)の梁が，静定梁であるか不静定梁であるかを答えよ．集中荷重を $P$，曲げモーメントを $M$，等分布荷重を $w$ で表すものとする．

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解答：

(1)

1. 鉛直上向きを正として力のつり合いと、A点周りのモーメントのつり合い（反時計回りを正）を考えると、

$$\begin{array}{rl}\sum F_y& =R_A+R_B=0\\ \sum M_A& =-M_A+M_B+R_{B}l=0\end{array}$$

これらを解いて、

$$\boxed{R_A=\frac{M_B-M_A}{l},R_B=\frac{M_A-M_B}{l}}$$

2. A点から距離 $x$ での断面における曲げモーメント $M(x)$ （下側引張を正）について、左側の自由体におけるモーメントのつり合いを考える。

$$\begin{array}{r}M(x)-M_A-R_{A}x=0\\ M(x)=M_A+R_{A}x\end{array}$$

$R_A$ を代入して、

$$\boxed{M(x)=M_A+\frac{M_B-M_A}{l}x}$$

3. たわみ $v$ （下向き正）に関する弾性曲線の微分方程式 $EI\frac{d^{2}v}{d{x}^2}=-M(x)$ より、

$$EI\frac{d^{2}v}{d{x}^2}=-M_A-\frac{M_B-M_A}{l}x$$

$x$ について順次積分すると、

$$\begin{array}{rl}EI\frac{dv}{dx}& =-M_{A}x-\frac{M_B-M_A}{2l}{x}^2+C_1\\ EIv& =-\frac{M_A}{2}{x}^2-\frac{M_B-M_A}{6l}{x}^3+C_{1}x+C_2\end{array}$$

境界条件 $v(0)=0$ より $C_2=0$。境界条件 $v(l)=0$ より、

$$0=-\frac{M_A}{2}{l}^2-\frac{M_B-M_A}{6l}{l}^3+C_{1}l⟹C_1=\frac{2M_A+M_B}{6}l$$

A点でのたわみ角 ${\theta }_A$ は $x=0$ におけるたわみ曲線の傾き $\frac{dv}{dx}$ であるため、

$$\boxed{{\theta }_A=\frac{(2M_A+M_B)l}{6EI}}$$

(2)
静定梁：力のつり合い方程式のみで、すべての支持反力や断面力が決定できる梁。
不静定梁：未知の反力の数がつり合い方程式の数より多く、変形の適合条件を考慮しなければ反力や断面力が決定できない梁。

(3) 題意より、水平方向の力は作用しておらず、考慮すべきつり合い方程式は鉛直方向の力とモーメントの2つである。図1の支持は未知反力が1つ（鉛直力）、図2の支持は未知反力が2つ（鉛直力とモーメント）である。

$$\boxed{\begin{array}{rlrlrl}& \text{(a) 静定梁}& & \text{(b) 不静定梁}& & \text{(c) 不静定梁}\\ & \text{(d) 静定梁}& & \text{(e) 静定梁}& & \text{(f) 不静定梁}\end{array}}$$

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这道题目主要考察了材料力学中梁的弯曲理论以及静定与超静定结构的基本判定。在第一部分中，由于梁的两端分别受到了时针和逆时针的集中弯矩，它们共同使得梁产生向下的挠曲（下侧受拉，即正弯矩）。通过整体受力分析可以得出反力，由于没有外加向下的集中力或分布力，两端剪力反力必须大小相等方向相反，形成一个力偶来平衡两端外加弯矩的差值。接着利用截面法写出任意位置的弯矩方程，再带入挠曲线的近似微分方程中进行两次积分。利用两端位移为零的边界条件求解积分常数，即可得到A点的转角。

在关于静定与超静定的判定中，理解题目的隐含前提非常关键。题目明确指出“图1的符号代表仅有竖直方向约束的简支”，且所有的外载荷均不存在水平分量，这就意味着我们无需考虑轴力，平面内独立使用的静力平衡方程只有两个（竖直向力平衡与平面内力矩平衡）。因此，只要未知反力的总数超过2个，仅靠静力平衡方程就无法求解，属于超静定梁；反之如果反力数恰好等于2个且几何不变，则为静定梁。例如(b)图中两端都是固定端，共有4个未知反力，属于2次超静定；而(e)图中一端固定一端自由的悬臂梁，只有固定端的2个未知反力，恰好可以通过2个平衡方程解出，属于静定梁。