0351-2025 名情复 机械 P545

流体力学 伯努利方程 势流理论

[1] 図1に示すように，円管内を空気が流れ，断面2から大気中に流出している。断面1に接続された細管がタンク内の水を高さ$h$だけ吸い上げている。断面1および2において，管直径をそれぞれ$d_1$および$d_2$とし，空気の速度をそれぞれ$u_1$および$u_2$とする。また，断面1の圧力を$p_1$とし，断面2の圧力は大気圧$p_2$とする。空気の密度を${\rho }_{\mathrm{a}}$，水の密度を${\rho }_{\mathrm{w}}$，重力加速度を$g$とし，空気の粘性と圧縮性および水の表面張力の影響は無視できるものとする。以下の問に答えなさい。

1. 断面1と2の間にベルヌーイの式を適用し，圧力差 $p_2-p_1$ を求めなさい。
2. $h$ と $p_2-p_1$ の関係を求めなさい。
3. $h$ と管径比 $d_2/d_1$ の関係を求めなさい。
   

[2] 図2に示すように，無限の長さをもつ2本の直線の渦糸AおよびBが平行に存在している。渦糸AおよびBの循環をそれぞれ${\Gamma }_{\mathrm{A}}$および${\Gamma }_{\mathrm{B}}$とし，渦糸間の距離を$R$とする。つぎの1)および2)の場合の渦糸の運動について，図を用いて述べなさい。

1. ${\Gamma }_{\mathrm{A}}={\Gamma }_{\mathrm{B}}$ の場合
2. ${\Gamma }_{\mathrm{A}}=-{\Gamma }_{\mathrm{B}}$ の場合
   

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解答：

[1]
1)
同一水平線上にある流線に対してベルヌーイの定理を適用すると，

$$p_1+\frac{1}{2}{\rho }_{\mathrm{a}}{u}_1^2=p_2+\frac{1}{2}{\rho }_{\mathrm{a}}{u}_2^2$$ $$\boxed{p_2-p_1=\frac{1}{2}{\rho }_{\mathrm{a}}(u_1^2-u_2^2)}$$

タンク水面の圧力は大気圧 $p_2$ と等しい。管内の空気柱の重さを無視し，静水圧の釣り合いを考えると，

$$p_1+{\rho }_{\mathrm{w}}gh=p_2$$ $$\boxed{p_2-p_1={\rho }_{\mathrm{w}}gh}$$

連続の式より，質量流量が一定であるため，

$$\frac{\pi }{4}{d}_1^2{u}_1=\frac{\pi }{4}{d}_2^2{u}_2⟹u_1=u_2{\left(\frac{d_2}{d_1}\right)}^2$$

4. と 2) の結果を等置し，$u_1$ を消去すると，

$${\rho }_{\mathrm{w}}gh=\frac{1}{2}{\rho }_{\mathrm{a}}\left\{u_2^2{\left(\frac{d_2}{d_1}\right)}^4-u_2^2\right\}$$ $$\boxed{h=\frac{{\rho }_{\mathrm{a}}{u}_2^2}{2{\rho }_{\mathrm{w}}g}\left\{{\left(\frac{d_2}{d_1}\right)}^4-1\right\}}$$

[2]
無限長直線渦糸が距離 $R$ 離れた位置に誘導する速度の大きさは $v=\frac{|\Gamma |}{2\pi R}$ である。

1. ${\Gamma }_{\mathrm{A}}={\Gamma }_{\mathrm{B}}=\Gamma$ の場合
   渦糸Aは渦糸Bの位置に，渦糸Bは渦糸Aの位置に，それぞれ大きさが $\frac{\Gamma }{2\pi R}$ で互いに逆向きの速度を誘導する。
   2本の渦糸は，それらの中点を中心として，互いに距離 $R$ を保ちながら角速度 $\frac{\Gamma }{\pi R^2}$ で同一方向へ回転運動する。

2. ${\Gamma }_{\mathrm{A}}=-{\Gamma }_{\mathrm{B}}=\Gamma$ の場合
   渦糸Aは渦糸Bの位置に，渦糸Bは渦糸Aの位置に，それぞれ大きさが $\frac{\Gamma }{2\pi R}$ で同じ向き（渦糸を結ぶ直線に垂直な方向）の速度を誘導する。
   2本の渦糸は，互いの距離 } $R$ を保ちながら，渦糸を結ぶ直線に垂直な方向へ一定速度 $\frac{\Gamma }{2\pi R}$ で並進運動する。

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题目第一部分利用不可压缩理想流体的伯努利方程和连续性方程结合流体静力学分析了文丘里效应，当管道截面积在第一部分变小时，流速增加导致压强下降，从而利用压力差将下方水槽中的水吸起，液柱的高度直接反映了动压的改变。题目第二部分基于势流理论中的毕奥-萨伐尔定律推导无限长直线涡的诱导速度场。当两根涡丝环量大小相等且同向时，它们互相诱导产生大小相等方向相反的速度，从而构成一个绕质心旋转的系统。而当两根涡丝环量大小相等且反向时，它们在彼此位置上诱导出的速度方向一致，从而形成一对平移的涡对。