[1] van der Waals 状態方程式に従う気体が臨界状態にある時，臨界圧力 ，臨界体積 ，臨界温度 を求めよ。
[2] 理想気体によって動作する Carnot サイクル（：等温膨張，：断熱膨張，：等温圧縮，：断熱圧縮）がある。
- 線図上にサイクルを示せ。
- 熱効率が次式となることを示せ。ここで， は高温熱源温度， は低温熱源温度である。
解答：
[1]
1モルの気体を仮定し、van der Waals 状態方程式を以下のように記述する（は気体定数、は定数）。
これを圧力 について解くと、
臨界点においては、図上の等温曲線が水平な変曲点を持つため、次の条件が成り立つ。
体積 での微分を計算すると、
臨界状態 を代入すると、以下の2つの式が得られる。
式(2)を式(1)で割ることにより、
よって、臨界体積は
これを式(1)に代入して について解く。
よって、臨界温度は
求めた と を元の状態方程式に代入し、 を求める。
よって、臨界圧力は
以上より、
[2]
1)
平面上のCarnotサイクルは次の4つの可逆過程からなる閉曲線である。
: 温度 の反比例曲線（等温線）に沿って体積が増加し圧力が低下する。
: 等温線よりも傾きが急な断熱曲線に沿って体積が増加し圧力が低下する。
: 温度 の反比例曲線（等温線）に沿って体積が減少し圧力が上昇する。
: 断熱曲線に沿って体積が減少し圧力が上昇して状態1に戻る。
（具体的なグラフ描画は省略する）
理想気体1モルとする。過程 の等温膨張で高温熱源から気体が吸収する熱量 は、
過程 の等温圧縮で気体が低温熱源へ放出する熱量 は、
過程 および は断熱過程であるため、ポアソンの関係式 が成立する。
これら2式の辺々を割ると、
したがって、
熱効率 は、吸収した熱量 に対する正味の仕事 の割合であるから、
であるため、対数項が相殺され、
(証明終)
这道题目考察了热力学中两个非常经典的模型也就是范德瓦尔斯气体的临界参数推导以及理想气体卡诺循环的热效率证明。第一题中范德瓦尔斯方程的临界点满足数学上等温线的一阶和二阶导数同时为零的条件这对应着物理上的气液共存态消失的临界状态。通过解这个包含体积倒数的方程组可以得到以气体常数和方程参数表示的临界常数表达式。第二题中卡诺循环是由两个等温过程和两个绝热过程交替构成的可逆循环需要利用等温过程吸放热量的积分表达式以及绝热过程的泊松方程将体积比联系起来最终通过效率的定义得出只与高低温热源温度有关的表达式这也体现了卡诺定理的核心结论即在两个给定温度热源之间工作的任意可逆热机效率均相同且达到最大。