0347-2025 名情复 数学 P521

微分积分 常微分方程 定积分 极限 方向场

[1] $f(x)$ は区間 $[a,b]$ （ただし，$a<b$）で連続で，$f(x)\ge 0$ とする。$n$ は1以上の自然数，$i=1,\cdots ,n$ として，$\Delta x=\frac{b-a}{n}$ , $x_i=a+i\Delta x$ とすると，定積分

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{n}f(x_i)\Delta x$$
は，$xy$ 平面上の $y=f(x),x=a,x=b,y=0$ のグラフで囲まれる領域の面積である。このことを用いて，次の極限値を計算せよ。
$$S=\underset{n\to \infty }{\lim }\left\{\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{n+n}\right\}$$

[2] 微分方程式

$$y^{\prime }=1+x-y(1)$$
について考える。ただし，$y^{\prime }=\frac{dy}{dx}$ である。この微分方程式の解を表す曲線（解曲線）上の点 $(x,y)$ における接線の傾きは $y^{\prime }$ となる。そして，$xy$ 平面上の多数の点 $(x,y)$ において，傾きが $y^{\prime }$ を持つベクトルを描いたものを「ベクトル場（方向場）」という。

1. $y^{\prime }=c$ とすると，$1+x-y=c$ 上の任意の点での，解曲線上の接線の傾きは $c$ である。$c=-4,-2,0,1,2$ として，ベクトル場を描き，$y(0)=5$ を初期条件とする解曲線の概形を描け。
2. 微分方程式 (1) の一般解，および，$y(0)=5$ を満たす特解を求めよ。

[3] $p(t)$ を時刻 $t$ における血液中のある薬の量であるとし，$p(t)$ は，比例定数を $k(>0)$ として

$$\frac{dp}{dt}=-kp$$
に従って変化するとする。初期投薬量を $p_0$ とすると，投与された薬は時刻 $t=0$ で即座に血液中に吸収され，$p(0)=p_0$ であるとする。また，一定時間 $T$ ごとに，$p_0$ の量の薬が追加投与され，投与された薬は，毎回即座に血液中に吸収されるとする。つまり，$n$ を任意の自然数とし，
$$p(nT)=\underset{ϵ\to +0}{\lim }p(nT-ϵ)+p_0$$
で表されるとする。

1. $0\le t<T$ において，時刻 $t$ での薬の量 $p(t)$ を求めよ。
2. $p(2T)$ を求めよ。
3. $p(nT)$ を求めよ。また，じゅうぶん時間が経過した時の血液中の薬の量を求めよ。
4. $0\le t\le 5T$ での $p(t)$ のグラフの概形を描け。ただし，3) の結果を踏まえ，漸近的な血液中の薬の量との関係がわかるように描くこと。

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解答：

[1]

$$\begin{array}{rl}S& =\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^n\frac{1}{n+i}\\ & =\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{1}{1+\frac{i}{n}}\end{array}$$

定積分の定義より，

$${\int }_0^1\frac{1}{1+x}dx=[\ln (1+x){]}_0^1=\ln 2$$
$$\boxed{\ln 2}$$

[2]

1. $1+x-y=c$ より直線 $y=x+1-c$ 上の各点に傾き $c$ の線分を配置する。求める解曲線は点 $(0,5)$ を通り，直線 $y=x$ に漸近して減少していく概形となる（図は省略）。

2. 微分方程式を変形し，両辺に $e^x$ を掛ける。
   

   $$y^{\prime }{e}^x+y{e}^x=(x+1)e^x$$
   $$(y{e}^x{)}^{\prime }=(x+1)e^x$$
   $$y{e}^x=\int (x+1)e^{x}dx=x{e}^x+C(C\text{ は積分定数})$$
   一般解は，
   $$\boxed{y=x+C{e}^{-x}}$$
   初期条件 $y(0)=5$ を代入する。
   $$5=0+C⟹C=5$$
   特解は，
   $$\boxed{y=x+5e^{-x}}$$

[3]

1. 微分方程式 $\frac{dp}{dt}=-kp$ を解くと，$p(t)=C{e}^{-kt}$ となる。
   $p(0)=p_0$ より $C=p_0$。
   

   $$\boxed{p(t)=p_0{e}^{-kt}}$$

2. 時刻 $T$ の直前の薬の量は $p(T-0)=p_0{e}^{-kT}$。
   時刻 $T$ で $p_0$ が追加されるため，
   

   $$p(T)=p_0{e}^{-kT}+p_0$$
   時刻 $2T$ の直前の薬の量は，
   $$p(2T-0)=p(T)e^{-kT}=(p_0{e}^{-kT}+p_0)e^{-kT}=p_0{e}^{-2kT}+p_0{e}^{-kT}$$
   よって，

$$\begin{array}{rl}p(2T)& =p(2T-0)+p_0\\ & =\boxed{p_0(1+e^{-kT}+e^{-2kT})}\end{array}$$

3. 同様にして，等比数列の和として求まる。

$$\begin{array}{rl}p(nT)& =p_0\sum _{i=0}^n{e}^{-ikT}\\ & =\boxed{p_0\frac{1-e^{-k(n+1)T}}{1-e^{-kT}}}\end{array}$$

じゅうぶん時間が経過した時の量は $n\to \infty$ の極限である。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }p(nT)=\boxed{\frac{p_0}{1-e^{-kT}}}$$

4. グラフは $t=nT$ で $p_0$ の不連続な増加を持ち，各区間 $(nT,(n+1)T)$ では指数関数的に減少するのこぎり波状の曲線となる。ピークは $p(nT)$ であり，漸近的な上限値 $\frac{p_0}{1-e^{-kT}}$ に近づく。各区間の終端（下限）は $\frac{p_0{e}^{-kT}}{1-e^{-kT}}$ に近づいていく（図は省略）。

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本题综合考察了微积分与常微分方程的基础知识。第一大题是经典的利用定积分求数列极限的题型，核心在于将所求和式提出分母的公因子，转化为黎曼和的形式，进而写出对应的定积分表达式求解。第二大题考察了一阶线性常微分方程的解法，第一小问涉及到向量场即方向场和积分曲线的定性绘制，考察对微分方程几何意义的直观理解；第二小问则可以直接利用积分因子法求解，通过凑微分化简等式。第三大题是常微分方程在药代动力学中的经典应用，考察了带有周期性脉冲输入的线性系统，其本质在求解微分方程后，结合周期性给药的边界条件转化为等比数列求和问题，最后利用极限求出系统达到稳态后的药物浓度峰值。