0346-2025 名情复 数学 P520

线性代数 正定矩阵 特征值与特征向量

[1] 行列 $X$ を $n\times n$ の実行列（実数値のみからなる行列）とする。行列 $Y$ に対して $Y^T$ は $Y$ の転置行列を表す。零ベクトルではない任意の $n$ 次元実ベクトル $\mathbf{x}$ に対して

$${\mathbf{x}}^{T}X\mathbf{x}>0$$
を満たす行列 $X$ を正定値行列と呼ぶ。ここで ${\mathbf{x}}^T$ は $\mathbf{x}$ を $n\times 1$ の行列と見たときの転置行列を表す。以下の問にすべて答えよ：

1. 行列
   

   $$M=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$$
   は正定値行列である。$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]$ として ${\mathbf{x}}^{T}M\mathbf{x}$ を計算することでこのことを示せ。

2. 行列
   

   $$N=\left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 3& -5\end{array}\right]$$
   は正定値行列ではない。$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]$ として ${\mathbf{x}}^{T}N\mathbf{x}$ を計算することでこのことを示せ。

3. $X=X^T$ となる行列 $X$ を対称行列と呼ぶ。行列 $X$ が正定値かつ対称であるとき，その固有値は常に正の実数であることを証明せよ。なお，対称行列の固有値・固有ベクトルがそれぞれ実数・実ベクトルであることは既知としてよい。

[2] 行列 $A,B,C$ を $n\times n$ の実行列とする。行列 $A,B$ を対称かつ正定値とする。このとき $A$ の逆行列 $A^{-1}$ が存在し，$A^{-1}$ は対称かつ正定値である（この事実を以下で用いてよい）。以下をすべて証明せよ：

1. $A+B$ は対称かつ正定値である。
2. 行列 $C$ を可逆とする。このとき，$C^{T}AC$ は対称かつ正定値である。
3. $A^{-1}-(A+B{)}^{-1}$ は対称かつ正定値である。なお上の事実をすべて用いてよい。

[3] 対称とは限らない正定値行列の固有値は常に正の実数か。Yes または No で回答し，Yes ならば証明を，No ならば反例を与えそれが実際に反例になっていることを示せ。

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解答：

[1]
1)

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{x}}^{T}M\mathbf{x}& =\left[\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}2x_1& x_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]\\ & =2x_1^2+x_2^2\end{array}$$

$\mathbf{x}\ne 0$ より $x_1,x_2$ の少なくとも一方は $0$ ではないため，

$$2x_1^2+x_2^2>0$$
よって ${\mathbf{x}}^{T}M\mathbf{x}>0$ となり，正定値行列である。(証明終)

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{x}}^{T}N\mathbf{x}& =\left[\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2& 4\\ 3& -5\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}2x_1+4x_2\\ 3x_1-5x_2\end{array}\right]\\ & =2x_1^2+7x_1{x}_2-5x_2^2\end{array}$$

$\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]\ne 0$ とすると，

$${\mathbf{x}}^{T}N\mathbf{x}=-5\le 0$$
となり，正定値行列の定義を満たさない。(証明終)

$X$ の任意の固有値を $\lambda$，対応する固有ベクトルを $\mathbf{v}\ne 0$ とする。
既知の事実より $\lambda$ は実数であり，$\mathbf{v}$ は実ベクトルである。

$$X\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$$
左から ${\mathbf{v}}^T$ を掛けると，
$${\mathbf{v}}^{T}X\mathbf{v}=\lambda {\mathbf{v}}^T\mathbf{v}$$
$X$ は正定値行列であり，$\mathbf{v}\ne 0$ より，
$${\mathbf{v}}^{T}X\mathbf{v}>0$$
また ${\mathbf{v}}^T\mathbf{v}=\Vert \mathbf{v}{\Vert }^2>0$ であるため，
$$\lambda =\frac{{\mathbf{v}}^{T}X\mathbf{v}}{{\mathbf{v}}^T\mathbf{v}}>0$$
となり，固有値は常に正の実数である。(証明終)

[2]
1)
対称性について：

$$(A+B{)}^T=A^T+B^T=A+B$$
正定値性について，任意の $\mathbf{x}\ne 0$ に対し：
$${\mathbf{x}}^T(A+B)\mathbf{x}={\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}+{\mathbf{x}}^{T}B\mathbf{x}$$
$A,B$ は正定値行列なので ${\mathbf{x}}^{T}A\mathbf{x}>0,{\mathbf{x}}^{T}B\mathbf{x}>0$ であり，
$${\mathbf{x}}^T(A+B)\mathbf{x}>0$$
となり，対称かつ正定値である。(証明終)

対称性について：

$$(C^{T}AC{)}^T=C^T{A}^T(C^T{)}^T=C^{T}AC$$
正定値性について，任意の $\mathbf{x}\ne 0$ に対し，$\mathbf{y}=C\mathbf{x}$ とおく。
$C$ は可逆なので $\mathbf{y}\ne 0$ である。
$${\mathbf{x}}^T(C^{T}AC)\mathbf{x}=({\mathbf{x}}^T{C}^T)A(C\mathbf{x})={\mathbf{y}}^{T}A\mathbf{y}$$
$A$ は正定値なので ${\mathbf{y}}^{T}A\mathbf{y}>0$ であり，
$${\mathbf{x}}^T(C^{T}AC)\mathbf{x}>0$$
となり，対称かつ正定値である。(証明終)

前提事実より $A^{-1},B^{-1}$ はともに対称かつ正定値である。

1. の結果より，$A^{-1}+B^{-1}$ は対称かつ正定値であり，その逆行列 $(A^{-1}+B^{-1}{)}^{-1}$ も対称かつ正定値となる。
2. の結果において，可逆行列を $A^{-1}$，中央の正定値行列を $(A^{-1}+B^{-1}{)}^{-1}$ とすると，
   $$(A^{-1}{)}^T(A^{-1}+B^{-1}{)}^{-1}{A}^{-1}$$
   は対称かつ正定値である。ここで，

$$\begin{array}{rl}(A^{-1}{)}^T(A^{-1}+B^{-1}{)}^{-1}{A}^{-1}& =A^{-1}(B^{-1}B{A}^{-1}+B^{-1}A{A}^{-1}{)}^{-1}{A}^{-1}\\ & =A^{-1}(B^{-1}(A+B)A^{-1}{)}^{-1}{A}^{-1}\\ & =A^{-1}(A(A+B{)}^{-1}B)A^{-1}\\ & =(A^{-1}A)(A+B{)}^{-1}B{A}^{-1}\\ & =(A+B{)}^{-1}B{A}^{-1}\\ & =(A+B{)}^{-1}((A+B)-A)A^{-1}\\ & =(A+B{)}^{-1}(A+B)A^{-1}-(A+B{)}^{-1}A{A}^{-1}\\ & =A^{-1}-(A+B{)}^{-1}\end{array}$$

よって，$A^{-1}-(A+B{)}^{-1}$ は対称かつ正定値である。(証明終)

[3]
\boxed{\text{No}}

反例として，

$$X=\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right]$$
を考える。任意の $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]\ne 0$ に対して，

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{x}}^{T}X\mathbf{x}& =\left[\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1-x_2\\ x_1+x_2\end{array}\right]\\ & =x_1^2-x_1{x}_2+x_1{x}_2+x_2^2\\ & =x_1^2+x_2^2>0\end{array}$$

よって $X$ は正定値行列である。
一方，$X$ の固有値 $\lambda$ は特性方程式

$$\det (X-\lambda I)=\left|\begin{array}{cc}1-\lambda & -1\\ 1& 1-\lambda \end{array}\right|=(1-\lambda {)}^2+1=0$$
を満たすため，
$$\lambda =1\pm i$$
となり，これらは実数ではない。従って，固有値が常に正の実数であるとは限らない。(証明終)

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题目主要考察了线性代数中正定矩阵的定义、对称矩阵的性质以及矩阵运算的技巧。对于一个方阵，其二次型实际上只与其对称部分有关，因为任何矩阵的反对称部分所构造的二次型严格等于零。这也意味着存在大量非对称的正定矩阵。但是，只有在矩阵是对称矩阵的前提下，我们才能保证其特征值全为实数；非对称的正定矩阵其特征值极有可能包含虚部，这也是第三题反例构造的核心思路。

在第二大题的证明中，特别是第三小问，直接验证正定性相对困难。解答中利用了前面证明的结论进行巧妙的代数变形，将复杂的逆矩阵作差形式转化为形如某个转置矩阵乘以正定矩阵再乘以原矩阵的二次型结构。类似提取公因式凑出单位阵的做法在处理含有矩阵逆的恒等变换时非常实用。