0344-2024 名情复 机械 P517

流体力学 相对静止 势流理论 流函数

[1] 図1のように，円筒容器（半径$R$）が内部の水とともに鉛直軸周りに一定の角速度$\omega$で回転し，水が容器に対して静止状態にあるものとする。円筒容器の底面中心を座標原点とし，半径方向に$r$軸，鉛直上方向に$z$軸をとり，重力加速度を$g$とする。以下の問に答えなさい。

1. 半径$r$の位置における水面の高さ$z$を求めなさい。ただし，容器中心（$r=0$）における水面高さを$z_0$とする。
2. $\omega$の値にかかわらず，水面高さが一定の半径位置$r_1$がある。$r_1$を求めなさい。
   

[2] 二次元空間（$x-y$平面）における非圧縮渦なし流れについて，以下の問に答えなさい。ただし，$x$および$y$方向の速度成分をそれぞれ$u$および$v$とする。

1. 速度ポテンシャル$\varphi$と速度成分の関係を示しなさい。
2. 流れ関数$\psi$と速度成分の関係を示しなさい。
3. $\varphi =$一定の線と$\psi =$一定の線は直交することを示しなさい。

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解答：
[1]
1)
水面上の微小流体要素における圧力の釣り合いより、

$$dp=\rho (r{\omega }^{2}dr-gdz)$$

自由表面では $dp=0$ となるため、

$$dz=\frac{{\omega }^2}{g}rdr$$

これを積分して、

$$z=\frac{{\omega }^2}{2g}{r}^2+C(C\text{は積分定数})$$

境界条件として $r=0$ のとき $z=z_0$ を代入すると、$C=z_0$。

$$\boxed{z=\frac{{\omega }^2}{2g}{r}^2+z_0}$$

静止時の水深を $H$ とする。水の体積は回転の前後で保存されるため、

$$\begin{array}{rl}\pi R^{2}H& ={\int }_0^{R}2\pi rzdr\\ & ={\int }_0^{R}2\pi r\left(\frac{{\omega }^2}{2g}{r}^2+z_0\right)dr\\ & =2\pi {\left[\frac{{\omega }^2}{8g}{r}^4+\frac{z_0}{2}{r}^2\right]}_0^R\\ & =\pi \left(\frac{{\omega }^2{R}^4}{4g}+z_0{R}^2\right)\end{array}$$

よって、$z_0$ は以下のように表される。

$$z_0=H-\frac{{\omega }^2{R}^2}{4g}$$

これを 1) で求めた $z$ の式に代入すると、

$$z=\frac{{\omega }^2}{2g}{r}^2+H-\frac{{\omega }^2{R}^2}{4g}=\frac{{\omega }^2}{2g}\left(r^2-\frac{R^2}{2}\right)+H$$

$\omega$ にかかわらず $z$ が一定（$z=H$）となる条件は $r^2-\frac{R^2}{2}=0$ である。$r\ge 0$ より、

$$\boxed{r_1=\frac{R}{\sqrt{2}}}$$

[2]
1)

$$\boxed{u=\frac{\partial \varphi }{\partial x},v=\frac{\partial \varphi }{\partial y}}$$

$$\boxed{u=\frac{\partial \psi }{\partial y},v=-\frac{\partial \psi }{\partial x}}$$

等ポテンシャル線 $\varphi (x,y)=\text{const}$ の全微分をとると、

$$d\varphi =\frac{\partial \varphi }{\partial x}dx+\frac{\partial \varphi }{\partial y}dy=udx+vdy=0$$

したがって、等ポテンシャル線の接線の傾きは次のようになる。

$${\left(\frac{dy}{dx}\right)}_{\varphi }=-\frac{u}{v}$$

同様に、流線 $\psi (x,y)=\text{const}$ の全微分をとると、

$$d\psi =\frac{\partial \psi }{\partial x}dx+\frac{\partial \psi }{\partial y}dy=-vdx+udy=0$$

したがって、流線の接線の傾きは次のようになる。

$${\left(\frac{dy}{dx}\right)}_{\psi }=\frac{v}{u}$$

両曲線の交点における接線の傾きの積を求めると、

$${\left(\frac{dy}{dx}\right)}_{\varphi }{\left(\frac{dy}{dx}\right)}_{\psi }=\left(-\frac{u}{v}\right)\left(\frac{v}{u}\right)=-1$$

接線の斜率的乘积为 $-1$，したがって $\varphi =$一定の線と $\psi =$一定の線は至る所で直交する。(証明終)

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这道题目分为两个部分，分别考察了流体力学中的液体相对静止问题和理想流体的二维无旋流动理论。

第一部分是关于圆筒容器内液体随容器绕垂直轴匀速旋转的问题。在这种状态下，液体内部各质点之间没有相对运动，可以视为刚体旋转。在随流体一起旋转的非惯性坐标系中，流体微团受到重力和惯性离心力的共同作用。自由表面上的压强处处相等，通过建立压强微分方程并结合中心点高度的边界条件，可以积分求出自由表面抛物面的方程。第二小问考察了体积守恒定律，旋转前后的液体总体积保持不变。通过对旋转状态下的液面进行积分求出体积，并与静止时的圆柱体体积建立等式，可以得到旋转时中心水位与初始静止水深的关系。将其代入液面方程后可以发现，存在一个特定的半径位置，该处的液面高度始终等于静止时的水深，完全不受旋转角速度的影响。

第二部分考察了二维不可压缩无旋流动的基本概念。速度势函数和流函数是描述这类流动的两个核心物理量。速度势函数的梯度直接给出了流场的速度矢量，而流函数则满足不可压缩流体的连续性方程，其偏导数与速度分量有固定的对应关系。在证明等势线与流线相互正交时，方法是分别写出两者全微分为零的方程，利用速度分量替换偏导数从而求出各自在相交点处的切线斜率，最后验证这两者的斜率乘积等于负一，这就证明了这两族曲线在二维平面上构成了正交网格。