0343-2024 名情复 机械 P516

热力学 理想气态方程 范德华方程 热机效率

[1] $0.028\text{ kg}$ の ${\text{C}}_2{\text{H}}_4$ ($0.028\text{ kg/mol}$) を $300\text{ K}$ の一定温度で $1{\text{ m}}^3$ から $0.1{\text{ m}}^3$ まで圧縮したい。

1. 理想気体に従う場合の体積変化における最小仕事を求めよ。
2. van der Waals 状態方程式に従う場合の体積変化における最小仕事を求めよ。なお、van der Waals 定数は $a=4\times 10^6{\text{ cm}}^6\cdot \text{atm},b=50{\text{ cm}}^3$ とする。ここで、$\ln (x)=2.3\log (x)$ としてよい。
3. 壁と気体の間に働く引力は測定される圧力に影響を及ぼさない理由を示せ。

[2] 気体が一定体積$V_2$の下で$P_2$から$P_1$へ圧力変化し、$(P_1,V_2)$ から $(P_2,V_1)$ まで断熱膨張し、一定圧力$P_2$の下で$V_1$から$V_2$へと体積変化するような理想気体によって動作する熱機関がある。

1. PV線図上にサイクルを示せ。
2. 熱効率が次式となることを示せ。ただし、$\gamma =C_P/C_V$として、$C_V$は定容熱容量、$C_P$は定圧熱容量であり、熱容量は温度に依存しないと仮定する。

$$\epsilon =1-\gamma \frac{(V_1/V_2)-1}{(P_1/P_2)-1}$$

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解答：

[1]
1)
モル数 $n=\frac{0.028\text{ kg}}{0.028\text{ kg/mol}}=1\text{ mol}$。
等温可逆圧縮の最小仕事 $W_{\text{id}}$ は：

$$W_{\text{id}}=-{\int }_{V_1}^{V_2}PdV={\int }_{V_2}^{V_1}\frac{nRT}{V}dV=nRT\ln \frac{V_1}{V_2}$$

$n=1,T=300\text{ K},\ln \frac{1}{0.1}=\ln 10=2.3$ より：

$$\boxed{W_{\text{id}}=690R}$$

van der Waals方程式 $P=\frac{nRT}{V-nb}-\frac{a{n}^2}{V^2}$ より：

$$W_{\text{vdW}}=-{\int }_{V_1}^{V_2}PdV=nRT\ln \frac{V_1-nb}{V_2-nb}-a{n}^2\left(\frac{1}{V_2}-\frac{1}{V_1}\right)$$

$V_1=10^6{\text{ cm}}^3,V_2=10^5{\text{ cm}}^3$ であり、$b\ll V_2$ のため $\ln \frac{V_1-nb}{V_2-nb}\approx \ln 10=2.3$。
引力補正項は：

$$a{n}^2\left(\frac{1}{V_2}-\frac{1}{V_1}\right)=4\times 10^6\times 1^2\times (10^{-5}-10^{-6})=36\text{ atm}\cdot {\text{cm}}^3$$

したがって：

$$\boxed{W_{\text{vdW}}=690R-36[\text{atm}\cdot {\text{cm}}^3]}$$

気体分子が壁に向かって運動する際、壁からの引力によって加速され、衝突時の力積が増加する。しかし同時に気体分子は壁を同じ大きさの引力で引き寄せるため、作用・反作用の法則により壁が受ける総合的な力は相殺され、巨視的な圧力測定には影響しない。

[2]
1)
PV線図上のサイクルは、以下の3つの過程からなる閉曲線である。

$$\begin{array}{rl}& A(P_2,V_2)\stackrel{\text{定積加熱}}{\to }B(P_1,V_2)\\ & B(P_1,V_2)\stackrel{\text{断熱膨張}}{\to }C(P_2,V_1)\\ & C(P_2,V_1)\stackrel{\text{定圧放熱}}{\to }A(P_2,V_2)\end{array}$$

(グラフ描画は省略)

定積過程 $A\to B$ での吸熱量 $Q_{\text{in}}$ は：

$$Q_{\text{in}}=C_V(T_B-T_A)=\frac{C_V}{nR}{V}_2(P_1-P_2)$$

定圧過程 $C\to A$ での放熱量 $Q_{\text{out}}$ は：

$$Q_{\text{out}}=C_P(T_C-T_A)=\frac{C_P}{nR}{P}_2(V_1-V_2)$$

熱効率 $\epsilon$ は $\epsilon =1-\frac{Q_{\text{out}}}{Q_{\text{in}}}$ であり、$\gamma =\frac{C_P}{C_V}$ を代入すると：

$$\begin{array}{rl}\epsilon & =1-\frac{\frac{C_P}{nR}{P}_2(V_1-V_2)}{\frac{C_V}{nR}{V}_2(P_1-P_2)}\\ & =1-\gamma \frac{P_2(V_1-V_2)}{V_2(P_1-P_2)}\\ & =1-\gamma \frac{(V_1/V_2)-1}{(P_1/P_2)-1}\end{array}$$

(証明終)

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第一题考查了等温可逆压缩过程中做功的计算。对于理想气体，直接使用状态方程积分即可。对于范德华气体，将体积修正项与引力修正项代入积分式计算，由于给定的常数单位未统一，解答中保留了气态常数 $R$ 并注明了附加项的单位。气壁相互作用力的问题在于宏观压强是动量交换的统计平均，引力造成的动量增量与引力本身构成了作用力与反作用力，因而在宏观测量中相互抵消。
第二题考查了热机循环的效率计算。梳理循环的三个过程：定容升压（吸热）、绝热膨胀（不交换热量）、定压压缩（放热）。利用理想气体状态方程将温度差转化为 $P,V$ 的表达式，再代入热效率公式 $\epsilon =1-Q_{\text{out}}/Q_{\text{in}}$ 即可得出结论。