0340-2024 名情复 数学 P494

常微分方程 解析几何 洛特卡-沃尔泰拉方程

[1] 次の微分方程式について考えよう。

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=(1-y)y$$

1. 一般解を求めよ。
2. 初期値が $0<y(0)<\frac{1}{2}$ および $y(0)>1$ の場合のそれぞれについて，$y(x)$ のグラフの特徴がわかるように概形を描け。

[2] $\theta$ によりパラメータ表示された，次の曲線について考えよう。ただし，$a,b>0$ とする。

$$x=a{\mathrm{e}}^{-b\theta }\cos \theta ,y=a{\mathrm{e}}^{-b\theta }\sin \theta$$

1. $xy$ 平面上に，$0\le \theta \le 4\pi$ での $(x,y)$ の軌跡の概形を描け。
2. 原点 $(0,0)$ と $(x,y)$ を結ぶ線分の長さを $r$ とする。$r$ と $\theta$ の関係式を求めよ。
3. $\theta$ が $\alpha$ から $\beta (>\alpha )$ まで変化するときに，原点 $(0,0)$ と $(x,y)$ を結ぶ線分が掃く部分の面積を $S_{\alpha ,\beta }$ とする。微小角 $\mathrm{d}\theta$ に対して，$S_{{\theta }_0,{\theta }_0+\mathrm{d}\theta }=\frac{1}{2}{r}^2\mathrm{d}\theta$ と表されることを示せ。
4. $S_{0,\pi }$ を求めよ。
5. $\theta$ が $\alpha$ から $\beta (>\alpha )$ まで変化するときの $(x,y)$ の軌跡の長さを $L_{\alpha ,\beta }$ とする。微小角 $\mathrm{d}\theta$ に対して，$L_{{\theta }_0,{\theta }_0+\mathrm{d}\theta }=\sqrt{a^2(b^2+1){\mathrm{e}}^{-2b\theta }}\mathrm{d}\theta$ と表されることを示せ。
6. $L_{0,\infty }$ を求めよ。

[3] 被食者と捕食者の個体数をそれぞれ $x,y$ として，これらの時間変化をモデル化した，次の2次元非線形力学系について考えよう。ただし，$a,b,c,d>0$ とし，$x,y>0$ の解を考えることとする。

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=ax-bxy$$ $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=-cy+dxy$$

1. この力学系において $V(x,y)=c\ln x+a\ln y-dx-by$ は時間によらず一定であることを示せ。ただし，$\ln$ は自然対数を表す。
2. この力学系の不動点 $(x_0,y_0)$ を求めよ。
3. 1)の結果，および，2)で求めた不動点まわりの $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t},\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ の符号を考えることにより，$xy$ 平面上での解軌道 $(x,y)$ の振る舞いを説明し，$(x_0,\frac{y_0}{2}),(x_0,\frac{y_0}{3}),(x_0,\frac{y_0}{4})$ の3つの初期値から始まる解軌道を描け。

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解答：

[1]
1)
変数分離形として積分する。

$$\begin{array}{rl}\int \left(\frac{1}{y}+\frac{1}{1-y}\right)\mathrm{d}y& =\int \mathrm{d}x\\ \ln \left|\frac{y}{1-y}\right|& =x+C\\ \frac{y}{1-y}& =C_1{\mathrm{e}}^x(C_1=\pm {\mathrm{e}}^C)\end{array}$$

これより、$y$ について解くと一般解が得られる。また、$y=0,1$ も解である。

$$\boxed{y(x)=\frac{C_1{\mathrm{e}}^x}{1+C_1{\mathrm{e}}^x}(C_1\text{は任意定数})\text{および}y(x)=0,1}$$

$y(x)=\frac{1}{1+A{\mathrm{e}}^{-x}}$ ($A$ は定数) とする。
$0<y(0)<\frac{1}{2}$ の場合、$A>1$ である。$\underset{x\to \infty }{\lim }y(x)=1$ であり、単調増加し、$y=1/2$ で変曲点をもつS字型のロジスティック曲線となる。
$y(0)>1$ の場合、$-1<A<0$ である。$x\ge 0$ において単調減少であり、$\underset{x\to \infty }{\lim }y(x)=1$ に漸近する下に凸な曲線となる。
（グラフ概形は省略）

[2]

1. 対数螺旋（等角螺旋）であり、原点に向かって巻き込む形状となる。（グラフ概形は省略）

$$r=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{a^2{\mathrm{e}}^{-2b\theta }({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )}$$ $$\boxed{r=a{\mathrm{e}}^{-b\theta }}$$

極座標における微小面積要素は、半径 $r({\theta }_0)$、中心角 $\mathrm{d}\theta$ の扇形の面積で近似できるため、

$$S_{{\theta }_0,{\theta }_0+\mathrm{d}\theta }=\frac{1}{2}r({\theta }_0{)}^2\mathrm{d}\theta$$

(証明終)
4)

$$S_{0,\pi }={\int }_0^{\pi }\frac{1}{2}{r}^2\mathrm{d}\theta =\frac{a^2}{2}{\int }_0^{\pi }{\mathrm{e}}^{-2b\theta }\mathrm{d}\theta =\frac{a^2}{2}{\left[\frac{{\mathrm{e}}^{-2b\theta }}{-2b}\right]}_0^{\pi }$$ $$\boxed{S_{0,\pi }=\frac{a^2}{4b}(1-{\mathrm{e}}^{-2b\pi })}$$

軌跡の長さの微小要素 $\mathrm{d}L$ は

$$\mathrm{d}L=\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\theta }\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\theta }\right)}^2}\mathrm{d}\theta =\sqrt{r^2+{\left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta }\right)}^2}\mathrm{d}\theta$$

$r=a{\mathrm{e}}^{-b\theta },r^{\prime }=-ab{\mathrm{e}}^{-b\theta }$ を代入すると、

$$L_{{\theta }_0,{\theta }_0+\mathrm{d}\theta }=\sqrt{a^2{\mathrm{e}}^{-2b{\theta }_0}+a^2{b}^2{\mathrm{e}}^{-2b{\theta }_0}}\mathrm{d}\theta =\sqrt{a^2(b^2+1){\mathrm{e}}^{-2b{\theta }_0}}\mathrm{d}\theta$$

(証明終)
6)

$$L_{0,\infty }={\int }_0^{\infty }a\sqrt{b^2+1}{\mathrm{e}}^{-b\theta }\mathrm{d}\theta =a\sqrt{b^2+1}{\left[\frac{{\mathrm{e}}^{-b\theta }}{-b}\right]}_0^{\infty }$$ $$\boxed{L_{0,\infty }=\frac{a\sqrt{b^2+1}}{b}}$$

[3]
1)

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}& =\frac{\partial V}{\partial x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial V}{\partial y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\\ & =\left(\frac{c}{x}-d\right)(ax-bxy)+\left(\frac{a}{y}-b\right)(-cy+dxy)\\ & =(c-dx)(a-by)+(a-by)(-c+dx)=0\end{array}$$

よって、$V(x,y)$ は時間によらず一定である。
(証明終)
2)
$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=0$ かつ $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=0$ を解く。$x,y>0$ より

$$\begin{gathered} x(a-by)=0⟹y=\frac{a}{b} \\ y(-c+dx)=0⟹x=\frac{c}{d} \end{gathered}$$ $$\boxed{(x_0,y_0)=\left(\frac{c}{d},\frac{a}{b}\right)}$$

1)より解軌道は $V(x,y)=\text{const}$ の等高線上にある。$V(x,y)$ は不動点 $(x_0,y_0)$ で極大値をとるため、軌道は不動点を囲む閉曲線となり、個体数変動は周期的な振動となる。
$(x_0,y_0)$ まわりの符号を調べると、第1象限から反時計回りに状態が推移する。
指定された3つの初期値は不動点を通る鉛直線上の下方にあり、初期値が $(x_0,y_0)$ から離れる（$y_0/2\to y_0/4$）ほど、形成される閉軌道は外側に大きく広がる。（グラフ概形は省略）

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本题考查了常微分方程和动力系统的基础知识。
第一题是分离变量法求解一阶常微分方程的经典模型（Logistic方程），其解的几何行为依赖于初始条件的位置，主要有S型增长和单调衰减两种情况。
第二题是对数螺旋线的极坐标分析，利用极坐标下的微积分公式，分别计算了扇形面积和弧长。面积微元和弧长微元在极坐标下的公式分别为 $\frac{1}{2}{r}^2\mathrm{d}\theta$ 和 $\sqrt{r^2+(r^{\prime }{)}^2}\mathrm{d}\theta$。
第三题是经典的Lotka-Volterra捕食者-猎物模型。通过构造类李雅普诺夫函数形式的守恒量证明了系统的能量守恒性，进而求出唯一的正平衡点。系统在相平面上的轨道为围绕平衡点的闭合曲线，对应于捕食者和猎物种群的周期性波动，且距离平衡点越远的初始点所在的闭轨越大。