0339-2024 名情复 数学 P492

线性代数 特征值 若尔当标准型 矩阵的幂

$N\times N$ 行列 $X$ の行列式 $\det X$ は以下のように定義される。

$$\det X\equiv \sum _{j_1=1}^N\sum _{j_2=1}^N\cdots \sum _{j_N=1}^N{ϵ}_{j_1,j_2,\dots ,j_N}{X}_{j_1}^1{X}_{j_2}^2\cdots X_{j_N}^N$$

ここで，$X_j^i$ は行列 $X$ の $i$ 行 $j$ 列成分であり，${ϵ}_{j_1,j_2,\dots ,j_N}$ は $(j_1,j_2,\dots ,j_N)$ が $(1,2,\dots ,N)$ の順番を偶数回置換して得られる場合は $1$，奇数回置換して得られる場合は $-1$，それ以外の場合は $0$ であるものとする。以下の問に答えよ。

[1] 以下の行列 $F$ の行列式 $\det F$ を求めよ。

$$F=\left(\begin{array}{ccccc}0& 3& 0& 0& 0\\ 0& 0& 5& 0& 2\\ 1& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 4& 4\\ 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right)$$

[2] $3\times 3$ 行列

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 2& -3& 0\\ -2& -1& 2\end{array}\right)$$

について考える。

1. 行列 $A$ の固有値は3つある。これらを ${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge {\lambda }_3$ と書くことにする。${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ を求めよ。
2. 行列 $A$ の固有値 ${\lambda }_i$ に対応する固有ベクトル ${\mathbf{v}}_i$ で，第3成分が $1$ となるものを $i=1,2,3$ について求めよ。すなわち，固有ベクトルを

$${\mathbf{v}}_i\equiv \left(\begin{array}{c}{v}_i^1\\ v_i^2\\ v_i^3\end{array}\right),(i=1,2,3)$$

と書くとき，$v_i^3=1$ となる ${\mathbf{v}}_i(i=1,2,3)$ を求めよ。
3) 行列 $V$ を

$$V\equiv \left(\begin{array}{ccc}{v}_1^1& v_2^1& v_3^1\\ v_1^2& v_2^2& v_3^2\\ v_1^3& v_2^3& v_3^3\end{array}\right)$$

と定義する。このとき $\tilde{A}\equiv V^{-1}AV$ を求めよ。
4) $A^{2023}$ を求めよ。表記の簡単化のため必要なら $2^{2023}\equiv P$, $3^{2023}\equiv Q$ とおきかえてよい。

[3] $3\times 3$ 行列

$$B=\left(\begin{array}{ccc}-1& 4& 0\\ -2& 5& 0\\ -1& 3& 1\end{array}\right)$$

について考える。

1. 行列 $B$ の固有値 ${\mu }_1,{\mu }_2,{\mu }_3$ のうち，2つは等しくなる。${\mu }_1\ne {\mu }_2={\mu }_3$ とするとき，これらを求めよ。
2. 行列 $B$ の固有ベクトルはその定数倍を除いて2つしか存在しない。固有値 ${\mu }_1$ に対応する固有ベクトル ${\mathbf{w}}_1$ と固有値 ${\mu }_2={\mu }_3$ に対応する固有ベクトル ${\mathbf{w}}_2$ のうち，第3成分が1であるような ${\mathbf{w}}_1$ と ${\mathbf{w}}_2$ を求めよ。
3. 単位行列を $I$ と書くとき $(B-{\mu }_{2}I){\mathbf{w}}_3={\mathbf{w}}_2$ を満たすベクトル ${\mathbf{w}}_3$ が存在する。${\mathbf{w}}_3$ を求めよ。
4. 行列 $W$ を

$${\mathbf{w}}_i\equiv \left(\begin{array}{c}{w}_i^1\\ w_i^2\\ w_i^3\end{array}\right),(i=1,2,3)$$

を用いて

$$W=\left(\begin{array}{ccc}{w}_1^1& w_2^1& w_3^1\\ w_1^2& w_2^2& w_3^2\\ w_1^3& w_2^3& w_3^3\end{array}\right)$$

と定義する。この時 $\tilde{B}\equiv W^{-1}BW$ を計算せよ。
5) $B^{2023}$ を求めよ。表記の簡単化のため必要なら $2^{2023}\equiv P$, $3^{2023}\equiv Q$ とおきかえてよい。

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解答：
[1]
行列 $F$ の第1行について余因子展開を行う。

$$\det F=-3\left|\begin{array}{cccc}0& 5& 0& 2\\ 1& 1& 0& 0\\ 0& 1& 4& 4\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right|$$

さらに第4行について展開する。

$$\det F=-3\times 1\times (-1{)}^{4+3}\left|\begin{array}{ccc}0& 5& 2\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 4\end{array}\right|=3\left|\begin{array}{ccc}0& 5& 2\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 4\end{array}\right|$$

第1列について展開する。

$$\det F=3\times (-1)\left|\begin{array}{cc}5& 2\\ 1& 4\end{array}\right|=-3(20-2)=-54$$ $$\boxed{\det F=-54}$$

[2]

1. 特性方程式は

$$\det (A-\lambda I)=\left|\begin{array}{ccc}-\lambda & -1& 0\\ 2& -3-\lambda & 0\\ -2& -1& 2-\lambda \end{array}\right|=(2-\lambda )({\lambda }^2+3\lambda +2)=(2-\lambda )(\lambda +1)(\lambda +2)=0$$

固有値は $2,-1,-2$ となる。${\lambda }_1\ge {\lambda }_2\ge {\lambda }_3$ より、

$$\boxed{{\lambda }_1=2,{\lambda }_2=-1,{\lambda }_3=-2}$$

2. ${\lambda }_1=2$ のとき、$(A-2I){\mathbf{v}}_1=0$ より

$$\left(\begin{array}{ccc}-2& -1& 0\\ 2& -5& 0\\ -2& -1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_1^1\\ v_1^2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\Rightarrow v_1^1=0,v_1^2=0$$

${\lambda }_2=-1$ のとき、$(A+I){\mathbf{v}}_2=0$ より

$$\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 2& -2& 0\\ -2& -1& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_2^1\\ v_2^2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\Rightarrow v_2^1-v_2^2=0,-2v_2^1-v_2^2+3=0\Rightarrow v_2^1=1,v_2^2=1$$

${\lambda }_3=-2$ のとき、$(A+2I){\mathbf{v}}_3=0$ より

$$\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ 2& -1& 0\\ -2& -1& 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_3^1\\ v_3^2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\Rightarrow 2v_3^1-v_3^2=0,-2v_3^1-v_3^2+4=0\Rightarrow v_3^1=1,v_3^2=2$$ $$\boxed{{\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{v}}_3=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)}$$

3. 行列 $V$ の各列は $A$ の固有ベクトルであるため、$\tilde{A}$ は対角行列となる。

$$\boxed{\tilde{A}=\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -2\end{array}\right)}$$

4. $\tilde{A}=V^{-1}AV$ より $A=V\tilde{A}{V}^{-1}$、$A^{2023}=V{\tilde{A}}^{2023}{V}^{-1}$ である。
   $V=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 0& 1& 2\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$ より、$V^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 2& -1& 0\\ -1& 1& 0\end{array}\right)$ となる。
   $2^{2023}\equiv P$ とおく。

$$\begin{array}{rl}{A}^{2023}& =\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 0& 1& 2\\ 1& 1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}P& 0& 0\\ 0& -1& 0\\ 0& 0& -P\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 2& -1& 0\\ -1& 1& 0\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}0& -1& -P\\ 0& -1& -2P\\ P& -1& -P\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 2& -1& 0\\ -1& 1& 0\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}P-2& 1-P& 0\\ 2P-2& 1-2P& 0\\ -2& 1-P& P\end{array}\right)\end{array}$$ $$\boxed{A^{2023}=\left(\begin{array}{ccc}P-2& 1-P& 0\\ 2P-2& 1-2P& 0\\ -2& 1-P& P\end{array}\right)}$$

[3]

1. 特性方程式は

$$\det (B-\mu I)=\left|\begin{array}{ccc}-1-\mu & 4& 0\\ -2& 5-\mu & 0\\ -1& 3& 1-\mu \end{array}\right|=(1-\mu )({\mu }^2-4\mu +3)=-(\mu -1{)}^2(\mu -3)=0$$

固有値は $1,1,3$ となる。

$$\boxed{{\mu }_1=3,{\mu }_2={\mu }_3=1}$$

2. ${\mu }_1=3$ のとき、$(B-3I){\mathbf{w}}_1=0$ より

$$\left(\begin{array}{ccc}-4& 4& 0\\ -2& 2& 0\\ -1& 3& -2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{w}_1^1\\ w_1^2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\Rightarrow -w_1^1+w_1^2=0,-w_1^1+3w_1^2-2=0\Rightarrow w_1^1=1,w_1^2=1$$

${\mu }_2=1$ のとき、$(B-I){\mathbf{w}}_2=0$ より

$$\left(\begin{array}{ccc}-2& 4& 0\\ -2& 4& 0\\ -1& 3& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{w}_2^1\\ w_2^2\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)\Rightarrow -2w_2^1+4w_2^2=0,-w_2^1+3w_2^2=0\Rightarrow w_2^1=0,w_2^2=0$$ $$\boxed{{\mathbf{w}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{w}}_2=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)}$$

3. $(B-I){\mathbf{w}}_3={\mathbf{w}}_2$ より

$$\left(\begin{array}{ccc}-2& 4& 0\\ -2& 4& 0\\ -1& 3& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{w}_3^1\\ w_3^2\\ w_3^3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$

これより $-2w_3^1+4w_3^2=0$, $-w_3^1+3w_3^2=1$ を得るので、$w_3^1=2,w_3^2=1$。第3成分 $w_3^3$ は任意であるが計算を容易にするため $0$ とおく。

$$\boxed{{\mathbf{w}}_3=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\\ 0\end{array}\right)}$$

4. $B{\mathbf{w}}_1=3{\mathbf{w}}_1,B{\mathbf{w}}_2={\mathbf{w}}_2,B{\mathbf{w}}_3={\mathbf{w}}_2+{\mathbf{w}}_3$ の関係が成り立つため、$BW=W\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$ となる。

$$\boxed{\tilde{B}=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 0\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)}$$

5. $B=W\tilde{B}{W}^{-1}$ より、$B^{2023}=W{\tilde{B}}^{2023}{W}^{-1}$ である。
   $W=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)$ より、$W^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& 0\\ 1& -2& 1\\ 1& -1& 0\end{array}\right)$ となる。
   $3^{2023}\equiv Q$ とおく。ここで、$\tilde{B}$ の右下 $2\times 2$ ブロックはジョルダン細胞であり、その累乗は ${\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)}^{2023}=\left(\begin{array}{cc}1& 2023\\ 0& 1\end{array}\right)$ となることに注意する。

$$\begin{array}{rl}{B}^{2023}& =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}Q& 0& 0\\ 0& 1& 2023\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& 0\\ 1& -2& 1\\ 1& -1& 0\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}Q& 0& 2\\ Q& 0& 1\\ Q& 1& 2023\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& 0\\ 1& -2& 1\\ 1& -1& 0\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}2-Q& 2Q-2& 0\\ 1-Q& 2Q-1& 0\\ 2024-Q& 2Q-2025& 1\end{array}\right)\end{array}$$ $$\boxed{B^{2023}=\left(\begin{array}{ccc}2-Q& 2Q-2& 0\\ 1-Q& 2Q-1& 0\\ 2024-Q& 2Q-2025& 1\end{array}\right)}$$

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本题考查了线性代数中高阶行列式的计算，以及矩阵的对角化和若尔当标准型的应用。第一题使用拉普拉斯展开，沿着0元素较多的行或列进行降阶计算即可。第二题是标准的对角化求矩阵高次幂的过程，先求出三个不同的特征值及对应的特征向量，将矩阵化为对角阵 $\tilde{A}$，利用 $A^n=V{\tilde{A}}^n{V}^{-1}$ 完成求解。第三题则处理了矩阵不能对角化的情况，其中有一个二重特征值对应的特征空间维度不足。此时需要求解广义特征向量 ${\mathbf{w}}_3$，构造变换矩阵 $W$，将原矩阵化为包含若尔当块的相似标准型 $\tilde{B}$。对于若尔当块的高次幂存在结论 ${\left(\begin{array}{cc}\lambda & 1\\ 0& \lambda \end{array}\right)}^n=\left(\begin{array}{cc}{\lambda }^n& n{\lambda }^{n-1}\\ 0& {\lambda }^n\end{array}\right)$，代入即可快速得出原矩阵的高次幂，广义特征向量中的自由变量（如本文取的第三个分量为0）不影响最终矩阵高次幂的唯一结果。