0338-2020 名情复 机械 P33

流体力学 连续性方程 无旋流动 流函数

[1] $x-y$ 平面内の二次元非圧縮性流れについて，以下の問に答えなさい。
ただし，$x$ 方向の速度を $u$，$y$ 方向の速度を $v$ とする。

1. 流体中に設定した微小要素における流入と流出を考えることにより，連続の式を導きなさい。
2. 渦度の定義を示しなさい。
3. 速度と流れ関数の関係を示しなさい。
4. 流れが渦なしの場合には，流れ関数は Laplace 方程式を満たすことを示しなさい。

[2] 以下の流体力学に関する用語について，それぞれ 150 字以内で説明しなさい。ただし，数式（文字数には含めない）や図を併用してもよい。

1. 速度ポテンシャル
2. Karman 渦
3. Pitot 管
4. 循環

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解答：

[1]
1)
$x-y$ 平面内に辺の長さが $dx,dy$ の微小矩形要素を考える。非圧縮性流体（密度 $\rho$ は一定）であるため、要素内の質量変化はなく、単位時間あたりの流入量と流出量は等しい。
$x$ 方向の流入量と流出量の差は：

$$\rho udy-\rho \left(u+\frac{\partial u}{\partial x}dx\right)dy=-\rho \frac{\partial u}{\partial x}dxdy$$

$y$ 方向の流入量と流出量の差は：

$$\rho vdx-\rho \left(v+\frac{\partial v}{\partial y}dy\right)dx=-\rho \frac{\partial v}{\partial y}dxdy$$

これらの和がゼロとなるため：

$$-\rho \left(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}\right)dxdy=0$$ $$\boxed{\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0}$$

渦度 $\zeta$ は速度ベクトルの回転として定義される。二次元流れの場合、$z$ 方向成分のみをもつ。

$$\boxed{\zeta =\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}}$$

流れ関数 $\psi$ は連続の式を満たすように定義されるスカラー関数である。

$$\boxed{\begin{array}{rl}u& =\frac{\partial \psi }{\partial y}\\ v& =-\frac{\partial \psi }{\partial x}\end{array}}$$

流れが渦なしのとき、渦度はゼロである（$\zeta =0$）。

$$\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}=0$$

速度と流れ関数の関係式を上式に代入すると：

$$\frac{\partial }{\partial x}\left(-\frac{\partial \psi }{\partial x}\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial \psi }{\partial y}\right)=0$$ $$-\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}-\frac{{\partial }^2\psi }{\partial y^2}=0$$

整理すると、Laplace方程式が得られる。

$$\frac{{\partial }^2\psi }{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2\psi }{\partial y^2}=0$$

(証明終)

[2]
1)
渦なし流れにおいて、速度ベクトル $\mathbf{v}$ をスカラー関数 $\Phi$ の勾配 $\mathbf{v}=\nabla \Phi$ として表せるとき、この $\Phi$ を速度ポテンシャルという。2次元では $u=\frac{\partial \Phi }{\partial x},v=\frac{\partial \Phi }{\partial y}$ となる。

流れの中に置かれた柱状の物体の後流において、物体の両側から交互に規則正しく剥離して形成される渦列のこと。特定のレイノルズ数範囲で発生し、物体に周期的な変動流体力（揚力や抗力の変動）を及ぼす。

流体の流速を測定する計器。流れに正対する先端の孔でよどみ点圧（全圧）を、側面の孔で静圧を測定し、ベルヌーイの定理によりその差である動圧から流速を算出する構造をもつ。

流体中の任意の閉曲線 $C$ に沿った速度ベクトル $\mathbf{v}$ の線積分 $\Gamma ={\oint }_C\mathbf{v}\cdot d\mathbf{s}$ のこと。ストークスの定理により、閉曲線が囲む面内の渦度の面積分に等しく、流れの巨視的な回転の強さを表す。

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第一部分主要考察了二维不可压缩流体的基础运动学关系。推导连续性方程时考虑微元控制体内的质量守恒，流出与流入的质量通量之差为零，化简即可得到散度为零的结论。涡度定义为速度场的旋度，二维情况下只有垂直于平面的分量。流函数则是为了自动满足二维连续性方程而引入的标量函数。当流动为无旋流即涡度为零时，将流函数代入涡度表达式即可直接导出拉普拉斯方程，满足此方程的流动又被称为理想流体的势流。

第二部分要求解释流体力学中的基本概念。速度势函数是无旋场中积分与路径无关所导出的标量势；卡门涡街是圆柱绕流中常见的流体失稳现象，会产生交变的作用力；皮托管利用伯努利原理通过测量驻点全压和静压之差来推算流速；而环量则是速度沿闭合曲线的线积分，通过斯托克斯定理与涡度通量相联系。