0335-2020 名情复 机械 P6

力学 分析力学 欧拉-拉格朗日方程 微振动

図のように，半径$a$，中心$\text{G}$の円環状の管が，その上の点$\text{O}$を支点にして，$(x,y)$ 平面上を一定の角速度$\omega$で回転している。管の太さは無視できるとする。この管の中を滑らかに動く質量$m$の質点の運動を考える。質点には重力は働いていないとして，以下の問に答えよ。

[1] 質点の位置を$\text{P}$とする。$\text{OG}$の延長線と管の交点を$\text{A}$とし，角 $\angle \text{AGP}=\phi$ とする。時刻 $t=0$ で，$\text{OA}$ は $x$ 軸上にあるとする（図中に時刻 $t=0$ における管の位置を点線で表示している）。このとき，$\text{P}$の座標 $x,y$ をそれぞれ $a,\omega ,t,\phi$ などを使って表わせ。

[2] 質点の運動エネルギー $T$ を，$m,a,\omega ,t,\phi ,\dot{\phi }$ などを使って整理した式で表わせ。ただし，$\dot{\phi }=\frac{d\phi }{dt}$ は時間 $t$ に関する $\phi$ の微分である。

[3] 質点の運動に関するオイラー・ラグランジュ方程式を書き，質点の運動方程式を求めよ。

[4] 質点の $t=0$ における初期状態を $\phi =0,\dot{\phi }=0$ とする。このときの質点の座標 $x,y$ を時間の関数として求め，軌跡の方程式を示せ。

[5] 質点の $t=0$ における初期状態を $\phi ={\phi }_0,\dot{\phi }=0$ とする。$|{\phi }_0|\ll 1$ のとき，質点は管の中をどのように運動するか説明せよ。周期的な運動の場合にはその周期を求めよ。

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解答：

[1]
図より、点 $\text{G}$ の座標は $(a\cos \omega t,a\sin \omega t)$ である。
ベクトル $\overrightarrow{\text{GP}}$ の $x$ 軸に対する角度は $\omega t+\phi$ であるから、
点 $\text{P}$ の座標 $(x,y)$ は

$$\begin{array}{rl}x& =a\cos \omega t+a\cos (\omega t+\phi )\\ y& =a\sin \omega t+a\sin (\omega t+\phi )\end{array}$$

となる。

$$\boxed{\begin{array}{rl}x& =a\cos \omega t+a\cos (\omega t+\phi )\\ y& =a\sin \omega t+a\sin (\omega t+\phi )\end{array}}$$

[2]
$x,y$ を時間 $t$ で微分すると

$$\begin{array}{rl}\dot{x}& =-a\omega \sin \omega t-a(\omega +\dot{\phi })\sin (\omega t+\phi )\\ \dot{y}& =a\omega \cos \omega t+a(\omega +\dot{\phi })\cos (\omega t+\phi )\end{array}$$

よって、質点の速度の2乗 $v^2$ は

$$\begin{array}{rl}{v}^2& ={\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2\\ & =a^2{\omega }^2+a^2(\omega +\dot{\phi }{)}^2+2a^2\omega (\omega +\dot{\phi })(\cos \omega t\cos (\omega t+\phi )+\sin \omega t\sin (\omega t+\phi ))\\ & =a^2{\omega }^2+a^2(\omega +\dot{\phi }{)}^2+2a^2\omega (\omega +\dot{\phi })\cos \phi \end{array}$$

したがって、運動エネルギー $T$ は

$$T=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m{a}^2\left[{\omega }^2+(\omega +\dot{\phi }{)}^2+2\omega (\omega +\dot{\phi })\cos \phi \right]$$ $$\boxed{T=\frac{1}{2}m{a}^2\left[{\omega }^2+(\omega +\dot{\phi }{)}^2+2\omega (\omega +\dot{\phi })\cos \phi \right]}$$

[3]
ポテンシャルエネルギー $U=0$ より、ラグランジアン $L=T-U=T$ である。
$\phi$ に関するオイラー・ラグランジュ方程式は

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi }}\right)-\frac{\partial L}{\partial \phi }=0$$

ここで

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi }}& =m{a}^2(\omega +\dot{\phi })+m{a}^2\omega \cos \phi \\ \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi }}\right)& =m{a}^2\ddot{\phi }-m{a}^2\omega \dot{\phi }\sin \phi \\ \frac{\partial L}{\partial \phi }& =-m{a}^2\omega (\omega +\dot{\phi })\sin \phi \end{array}$$

これらを代入して整理すると

$$m{a}^2\ddot{\phi }-m{a}^2\omega \dot{\phi }\sin \phi +m{a}^2\omega (\omega +\dot{\phi })\sin \phi =0$$ $$m{a}^2\ddot{\phi }+m{a}^2{\omega }^2\sin \phi =0$$ $$\ddot{\phi }+{\omega }^2\sin \phi =0$$

これが質点の運動方程式である。

$$\boxed{\begin{array}{rl}\text{オイラー・ラグランジュ方程式: }& \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\phi }}\right)-\frac{\partial L}{\partial \phi }=0\\ \text{運動方程式: }& \ddot{\phi }+{\omega }^2\sin \phi =0\end{array}}$$

[4]
初期条件 $\phi (0)=0,\dot{\phi }(0)=0$ より、運動方程式 $\ddot{\phi }+{\omega }^2\sin \phi =0$ の解は常に $\phi (t)=0$ となる。
これを [1] で求めた $x,y$ に代入すると

$$\begin{array}{rl}x& =a\cos \omega t+a\cos \omega t=2a\cos \omega t\\ y& =a\sin \omega t+a\sin \omega t=2a\sin \omega t\end{array}$$

これより $x^2+y^2=4a^2$ を得る。
軌跡の方程式は原点を中心とする半径 $2a$ の円である。

$$\boxed{\begin{array}{rl}x& =2a\cos \omega t\\ y& =2a\sin \omega t\\ x^2+y^2& =4a^2\end{array}}$$

[5]
$|\phi |\ll 1$ のとき、$\sin \phi \simeq \phi$ と近似できる。
運動方程式は

$$\ddot{\phi }+{\omega }^2\phi =0$$

これは単振動の方程式である。
初期条件 $\phi (0)={\phi }_0,\dot{\phi }(0)=0$ を満たす解は

$$\phi (t)={\phi }_0\cos \omega t$$

質点は管の中で点 $\text{A}$ ($\phi =0$) を中心として、角振動数 $\omega$ で単振動（微小振動）を行う。
その周期 $\tau$ は

$$\tau =\frac{2\pi }{\omega }$$

である。

$$\boxed{\text{点Aを中心に角振動数}\omega \text{で単振動する。周期は}\frac{2\pi }{\omega }\text{である。}}$$

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本题考查了分析力学中欧拉-拉格朗日方程的应用以及微小振动的近似处理。第一问写出坐标即可，注意点G的坐标为 $(a\cos \omega t,a\sin \omega t)$。第二问对坐标求导得到速度，进而写出动能。由于没有重力，拉格朗日量即为动能。第三问代入欧拉-拉格朗日方程即可得到运动方程。第四问将初始条件代入运动方程发现 $\phi$ 恒为0，说明质点一直停留在管的A点，随管一起做圆周运动。第五问是标准的微小振动近似，将 $\sin \phi$ 泰勒展开保留线性项，得到简谐振动方程。