0334-2020 名情复 数学 P5

微分积分 常微分方程 函数列的极限 分离变量法 等倾线

[1] 区間 $0\le x\le 1$ で定義された関数列

$$f_n(x)=nx(1-x^2{)}^n(n=1,2,3,\dots )$$

について，次の問に答えよ。

1. 次の極限値を求めよ。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^1{f}_n(x)dx$$

2. $n$を固定したとき，$f_n(x)$が最大値をとることを示し，そのときの$x$と$f_n(x)$の値を求めよ。
3. 次の極限値を求めよ。

$${\int }_0^1\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)dx$$

4. $f_n(x)$のグラフの概形を描き，$n$が大きくなっていくときの$f_n(x)$の変化の様子を示せ。

[2] 非線形常微分方程式

$$\frac{dy}{dx}=\frac{x^2}{y}$$

について，次の問に答えよ。

1. 一般解の式を求めよ。
2. $x$と$y$を変数とする平面（相平面）上で解曲線の勾配$\frac{dy}{dx}$が定数$a$となる点の集合（曲線）を$y=g_a(x)$と書くことにする。$a$が$0,\pm \frac{1}{4},\pm \frac{1}{2},\pm 1,\pm 2,\pm 4$のときの$y=g_a(x)$を実線で図示せよ。ただし，描画領域を$-2\le x\le 2,-2\le y\le 2$とする。
3. 相平面上で，解曲線の勾配$a$と$y=g_a(x)$の勾配が一致する点の集合（曲線）が満たす式を$y=f(x)$の形式で求めよ。また，その曲線を 2) で描いた図の中に破線で図示せよ。
4. 相平面上で $(1,0)$ を通る解曲線と $(0,1)$ を通る解曲線を 2) で描いた図の中に実線で図示せよ。

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解答：
[1]
1)

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1{f}_n(x)dx& ={\int }_0^{1}nx(1-x^2{)}^{n}dx\\ & ={\left[-\frac{n}{2(n+1)}(1-x^2{)}^{n+1}\right]}_0^1\\ & =\frac{n}{2(n+1)}\end{array}$$ $$\underset{n\to \infty }{\lim }{\int }_0^1{f}_n(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{2(1+\frac{1}{n})}=\frac{1}{2}$$ $$\boxed{\frac{1}{2}}$$

$$\begin{array}{rl}{f}_n^{\prime }(x)& =n(1-x^2{)}^n+nx\cdot n(1-x^2{)}^{n-1}(-2x)\\ & =n(1-x^2{)}^{n-1}(1-x^2-2n{x}^2)\\ & =n(1-x^2{)}^{n-1}(1-(2n+1)x^2)\end{array}$$

$0\le x\le 1$ の範囲で $f_n^{\prime }(x)=0$ となるのは $x=\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$ のときである。
$0\le x<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$ で $f_n^{\prime }(x)>0$、$\frac{1}{\sqrt{2n+1}}<x\le 1$ で $f_n^{\prime }(x)<0$ となるため、この点で最大値をとる。(証明終)

$$\boxed{x=\frac{1}{\sqrt{2n+1}},f_n(x)=\frac{n}{\sqrt{2n+1}}{\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)}^n}$$

$0\le x\le 1$ において、
$x=0$ または $x=1$ のとき、すべての $n$ で $f_n(x)=0$ より $\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)=0$。
$0<x<1$ のとき、$0<1-x^2<1$ であり、指数関数の減衰は多項式の増大より速いため $\underset{n\to \infty }{\lim }nx(1-x^2{)}^n=0$。
よって、区間内のすべての $x$ で $\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)=0$。

$${\int }_0^1\underset{n\to \infty }{\lim }{f}_n(x)dx={\int }_0^{1}0dx=0$$ $$\boxed{0}$$

$x=\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$ で最大値 $\frac{n}{\sqrt{2n+1}}{\left(\frac{2n}{2n+1}\right)}^n$ をとる。$n\to \infty$ のとき、最大値をとる $x$ の位置は $0$ に近づき、最大値は $\infty$ に発散する。グラフは原点付近で鋭いピークを持ち、それ以外の部分では $0$ に潰れていくような概形を示す。

[2]
1)

$$ydy=x^{2}dx$$

両辺を積分して、

$$\int ydy=\int x^{2}dx$$ $$\frac{1}{2}{y}^2=\frac{1}{3}{x}^3+C(C\text{は任意定数})$$ $$\boxed{y^2=\frac{2}{3}{x}^3+C^{\prime }}$$

$$\frac{x^2}{y}=a⟹y=g_a(x)=\frac{x^2}{a}(a\ne 0)$$

$a=0$ のときは $x=0$（$y\ne 0$）。
これらは原点を頂点とする放物線群および$y$軸であり、指定された領域にこれらを描画する。

$y=g_a(x)=\frac{x^2}{a}$ の勾配は $\frac{dy}{dx}=\frac{2x}{a}$。
これが解曲線の勾配 $a$ と一致するので、

$$a=\frac{2x}{a}⟹a^2=2x$$

これを $y=\frac{x^2}{a}$ に代入し、$a$ を消去する。$y^2=\frac{x^4}{a^2}=\frac{x^4}{2x}=\frac{x^3}{2}$。ここで $a^2=2x\ge 0$ より $x\ge 0$。

$$\boxed{y=\pm \sqrt{\frac{x^3}{2}}(x\ge 0)}$$

$(1,0)$ を通る解曲線：一般解 $y^2=\frac{2}{3}{x}^3+C^{\prime }$ に代入し $0=\frac{2}{3}+C^{\prime }$ より $C^{\prime }=-\frac{2}{3}$。

$$y^2=\frac{2}{3}(x^3-1)$$

$(0,1)$ を通る解曲線：一般解に代入し $1=0+C^{\prime }$ より $C^{\prime }=1$。

$$y=\sqrt{\frac{2}{3}{x}^3+1}$$

これらを描画領域内に図示する。

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这道题目第一部分考察了函数列的极限与积分的交换问题。在第一小问中直接计算积分的极限得到二分之一。第三小问中先求极限再积分，由于函数列收敛于零函数，结果为零。这说明该函数列在区间上不一致收敛，导致积分与极限不能交换顺序。通过对导数的分析可以发现，随着n增大，函数的最大值趋向无穷大，且峰值位置不断向原点移动。第二部分考察了一阶非线性常微分方程的求解与相平面分析。使用分离变量法可以求出一般解。等倾线是相平面上斜率处处相等的曲线，这里是一族抛物线。通过寻找等倾线上切线斜率与该常数相同的点，可以得到解曲线上拐点的轨迹。最后代入初始条件可求解特定解曲线的表达式。