0333-2020 名情复 数学 P3

线性代数 线性方程组 矩阵乘法 幂零矩阵 线性无关

[1] $x,y,z,a,b,c$は実数とする。次のベクトルと行列について以下の問に答えよ。ただし${\mathbf{v}}^{\top }$は$\mathbf{v}$を転置したものである。

$$\mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right),{\mathbf{v}}^{\top }=(x,y,z),0=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right),\mathbf{d}=\left(\begin{array}{c}5\\ -2\\ -3\end{array}\right),\mathbf{e}=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right),\mathbf{f}=\left(\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right)$$ $$M=\left(\begin{array}{ccc}2& -1& 4\\ 1& -1& -2\\ -3& 2& -2\end{array}\right)$$

1. $M\mathbf{v}=0$ を満たすベクトル$\mathbf{v}$をすべて求めよ。
2. $M\mathbf{v}=\mathbf{d}$ を満たすベクトル$\mathbf{v}$をすべて求めよ。
3. ${\mathbf{v}}^{\top }M=0^{\top }$ を満たすベクトル$\mathbf{v}$をすべて求めよ。
4. $M\mathbf{v}=\mathbf{e}$ を満たすベクトル$\mathbf{v}$は存在しないことを証明せよ。
5. 方程式 $M\mathbf{v}=\mathbf{f}$ の解$\mathbf{v}$が存在するための$\mathbf{f}$に関する必要十分条件を述べて，それが必要十分条件になっていることを証明せよ。

[2] すべての成分が$0$であるベクトルを$0$と書く。また，すべての行列要素が$0$である行列を$O$と書く。正方行列$X$に対して自然数$k$があって$X^k=O$となるならば，$X$はベキ零であるといい，$X^{k-1}\ne O$かつ$X^k=O$となるならば$X$の位数は$k$であるという。ただし，任意の正方行列$X$に対して$X^0=I$（単位行列）と定める。以下の問に答えよ。

1. 次の行列がベキ零であることを示し，それぞれの位数を求めよ。

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ 1& 1& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 2& 0& 0\\ 0& 0& 3& 0\end{array}\right),C=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 2& 0\end{array}\right),D=\left(\begin{array}{cc}-3& -9\\ 1& 3\end{array}\right)$$

2. 行列$D$について$D\mathbf{u}\ne 0$であるようなベクトル$\mathbf{u}$の例を一つ示せ。
3. 2)で示した$\mathbf{u}$について${\mathbf{f}}_1=\mathbf{u},{\mathbf{f}}_2=D\mathbf{u}$とおく。ベクトル${\mathbf{f}}_1,{\mathbf{f}}_2$の成分を並べて行列$Q$を作る：

$${\mathbf{f}}_1=\left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right),{\mathbf{f}}_2=\left(\begin{array}{c}c\\ d\end{array}\right),Q=({\mathbf{f}}_1{\mathbf{f}}_2)=\left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)$$

行列$Q$と逆行列$Q^{-1}$を具体的に求めよ。また，$Q^{-1}DQ$を求めよ。
4) $n$次の正方行列$Y$がベキ零であり，その位数が$n$だったとする。このとき$n$次元ベクトル$\mathbf{w}$で$Y^{n-1}\mathbf{w}\ne 0$かつ$Y^n\mathbf{w}=0$を満たすものが存在することを証明せよ。
5) $\mathbf{w}$は$Y^{n-1}\mathbf{w}\ne 0$かつ$Y^n\mathbf{w}=0$を満たすとする。このとき

$${\mathbf{e}}_1=\mathbf{w},{\mathbf{e}}_{i+1}=Y{\mathbf{e}}_i(i=1,2,\dots ,n-1)$$

とおくと，ベクトル${\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\dots ,{\mathbf{e}}_n$は一次独立であることを証明せよ。つまり，実数$a_1,a_2,\dots ,a_n$に関して

$$a_1{\mathbf{e}}_1+a_2{\mathbf{e}}_2+\cdots +a_n{\mathbf{e}}_n=0$$

となっていれば$a_1=a_2=\cdots =a_n=0$であることを証明せよ。

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解答：
[1]
1)

$$\begin{array}{rl}(M|0)& =\left(\begin{array}{cccc}2& -1& 4& 0\\ 1& -1& -2& 0\\ -3& 2& -2& 0\end{array}\right)\\ & \to \left(\begin{array}{cccc}1& -1& -2& 0\\ 0& 1& 8& 0\\ 0& -1& -8& 0\end{array}\right)\\ & \to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 6& 0\\ 0& 1& 8& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\end{array}$$ $$\boxed{\mathbf{v}=c\left(\begin{array}{c}-6\\ -8\\ 1\end{array}\right)(c\text{は任意の実数})}$$

$$\begin{array}{rl}(M|\mathbf{d})& =\left(\begin{array}{cccc}2& -1& 4& 5\\ 1& -1& -2& -2\\ -3& 2& -2& -3\end{array}\right)\\ & \to \left(\begin{array}{cccc}1& -1& -2& -2\\ 0& 1& 8& 9\\ 0& -1& -8& -9\end{array}\right)\\ & \to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 6& 7\\ 0& 1& 8& 9\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\end{array}$$ $$\boxed{\mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}7\\ 9\\ 0\end{array}\right)+c\left(\begin{array}{c}-6\\ -8\\ 1\end{array}\right)(c\text{は任意の実数})}$$

$$\begin{array}{rl}(M^{\top }|0)& =\left(\begin{array}{cccc}2& 1& -3& 0\\ -1& -1& 2& 0\\ 4& -2& -2& 0\end{array}\right)\\ & \to \left(\begin{array}{cccc}1& 1& -2& 0\\ 0& -1& 1& 0\\ 0& -6& 6& 0\end{array}\right)\\ & \to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 0\\ 0& 1& -1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)\end{array}$$ $$\boxed{\mathbf{v}=c\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)(c\text{は任意の実数})}$$

$$\begin{array}{rl}(M|\mathbf{e})& =\left(\begin{array}{cccc}2& -1& 4& 1\\ 1& -1& -2& 1\\ -3& 2& -2& 1\end{array}\right)\\ & \to \left(\begin{array}{cccc}1& -1& -2& 1\\ 0& 1& 8& -1\\ 0& -1& -8& 4\end{array}\right)\\ & \to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 6& 0\\ 0& 1& 8& -1\\ 0& 0& 0& 3\end{array}\right)\end{array}$$

係数行列の階数は$2$、拡大係数行列の階数は$3$であるため、解は存在しない。(証明終)

$$\begin{array}{rl}(M|\mathbf{f})& =\left(\begin{array}{cccc}2& -1& 4& a\\ 1& -1& -2& b\\ -3& 2& -2& c\end{array}\right)\\ & \to \left(\begin{array}{cccc}1& -1& -2& b\\ 0& 1& 8& a-2b\\ 0& -1& -8& c+3b\end{array}\right)\\ & \to \left(\begin{array}{cccc}1& 0& 6& a-b\\ 0& 1& 8& a-2b\\ 0& 0& 0& a+b+c\end{array}\right)\end{array}$$

解が存在するための必要十分条件は係数行列の階数と拡大係数行列の階数が等しいことである。

$$\boxed{a+b+c=0}$$

（証明）
条件 $a+b+c=0$ が成り立つとき、拡大係数行列の階数は $2$ となり、係数行列の階数 $2$ と一致するため、解が存在する。これが十分条件である。
逆に、解 $\mathbf{v}$ が存在すると仮定する。このとき $M\mathbf{v}=\mathbf{f}$ であり、両辺の左から $(1,1,1)$ を乗じると、3)の結果より

$$(1,1,1)M\mathbf{v}=0^{\top }\mathbf{v}=0$$

一方、

$$(1,1,1)\mathbf{f}=a+b+c$$

よって $a+b+c=0$ が得られる。これが必要条件である。(証明終)

[2]
1)

$$\begin{array}{rl}{A}^2& =\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)\ne O,A^3=O\\ B^2& =\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 2& 0& 0& 0\\ 0& 6& 0& 0\end{array}\right)\ne O,B^3=\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 6& 0& 0& 0\end{array}\right)\ne O,B^4=O\\ C^2& =O\\ D^2& =\left(\begin{array}{cc}9-9& 27-27\\ -3+3& -9+9\end{array}\right)=O\end{array}$$

各行列はベキ零である。(証明終)

$$\boxed{\text{位数: }A:3,B:4,C:2,D:2}$$

$$\boxed{\mathbf{u}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)}$$

$${\mathbf{f}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),{\mathbf{f}}_2=D\mathbf{u}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 1\end{array}\right)$$ $$\boxed{Q=\left(\begin{array}{cc}1& -3\\ 0& 1\end{array}\right),Q^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 1\end{array}\right),Q^{-1}DQ=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 0\end{array}\right)}$$

$Y$ の位数が $n$ であるため、$Y^{n-1}\ne O$ かつ $Y^n=O$。
$Y^{n-1}\ne O$ より、$Y^{n-1}\mathbf{x}\ne 0$ となる $n$ 次元ベクトル $\mathbf{x}$ が少なくとも1つ存在する。
$\mathbf{w}=\mathbf{x}$ とおくと、$Y^{n-1}\mathbf{w}\ne 0$ となる。
一方、$Y^n=O$ であるため、任意のベクトル $\mathbf{v}$ に対して $Y^n\mathbf{v}=0$ が成り立つ。したがって、$Y^n\mathbf{w}=0$ も満たされる。(証明終)

$$a_1\mathbf{w}+a_{2}Y\mathbf{w}+\cdots +a_n{Y}^{n-1}\mathbf{w}=0$$

両辺の左から $Y^{n-1}$ を乗じると、$Y^k\mathbf{w}=0(k\ge n)$ より、

$$a_1{Y}^{n-1}\mathbf{w}=0$$

$Y^{n-1}\mathbf{w}\ne 0$ であるから、$a_1=0$。
次に、両辺の左から $Y^{n-2}$ を乗じると、同様に

$$a_2{Y}^{n-1}\mathbf{w}=0$$

となり、$a_2=0$。
これを帰納的に繰り返すことで、$a_1=a_2=\cdots =a_n=0$ が導き出され、一次独立であることが示される。(証明終)

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这道题目主要考察了线性方程组的求解、矩阵运算、幂零矩阵的性质以及向量组的线性无关性。求解齐次和非齐次线性方程组可以通过对增广矩阵进行初等行变换得到行最简形，从而写出基础解系和通解。判断方程组是否有解，可以利用克罗内克-卡佩里定理，即系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。幂零矩阵的位阶计算只需直接进行矩阵乘法验证即可。对于幂零矩阵，可以构造一组特殊的基向量，使得矩阵在这组基下的表示为一个若尔当块，这涉及到线性变换和相似矩阵的基本概念。在证明线性无关时，利用幂零矩阵的性质，不断在等式两边左乘矩阵的幂次，可以消去大部分项，从而逐个推导出线性组合的所有系数均为零。