0331-2023 名情复 机械 P490

控制学 拉普拉斯变换 劳斯稳定判据 奈奎斯特稳定判据

時間関数 $f(t)$ をラプラス変換した関数を $F(s)$ のように書くことにする。

［１］制御系の出力は回転角であり，$\Theta (s)=\frac{4s+12}{2s^2+5s+1}$ で与えられている。以下の問に答えよ。

1. 回転角の初期値 $\theta (t=0)$ を求めよ。
2. 回転角速度 $\Omega (s)$ を求めよ。
3. 回転角速度の初期値 $\omega (t=0)$ を求めよ。

［２］図1に示す制御系について，以下の問に答えよ。ただし，図中の $K,T_1,T_2$ は，正の実数である。

1. 一巡伝達関数（開ループ伝達関数） $L(s)$ を求めよ。
2. 入力 $U(s)$ から出力 $Y(s)$ までの閉ループ伝達関数 $G(s)$ を求めよ。
3. ラウスの安定判別法を用いて，系を安定とするための $K$ の範囲を $T_1$ と $T_2$ を用いて表せ。
4. $L(s)$ のベクトル軌跡の略図を描け。
5. $K=10$ のとき，$L(s)$ のベクトル軌跡が点 $(-0.2,0)$ で実軸と交わる。ナイキストの安定判別法を用いて，系を安定とするための $K$ の範囲を求めよ。
6. $K$ の値の増大により，系の安定性・速応性・定常特性がどう変化するかを記述せよ。
   

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解答：

［１］

1. 初期値定理より、
   

   $$\theta (0)=\underset{s\to \infty }{\lim }s\Theta (s)=\underset{s\to \infty }{\lim }\frac{4s^2+12s}{2s^2+5s+1}=\frac{4}{2}=2$$
   $$\boxed{\theta (0)=2}$$

2. 回転角速度は回転角の微分であるため、ラプラス変換の微分定理を用いる。
   

   $$\Omega (s)=s\Theta (s)-\theta (0)=\frac{4s^2+12s}{2s^2+5s+1}-2=\frac{4s^2+12s-2(2s^2+5s+1)}{2s^2+5s+1}$$
   $$\boxed{\Omega (s)=\frac{2s-2}{2s^2+5s+1}}$$

3. 初期値定理より、
   

   $$\omega (0)=\underset{s\to \infty }{\lim }s\Omega (s)=\underset{s\to \infty }{\lim }\frac{2s^2-2s}{2s^2+5s+1}=\frac{2}{2}=1$$
   $$\boxed{\omega (0)=1}$$

［２］
1)

$$\boxed{L(s)=\frac{K}{s(T_{1}s+1)(T_{2}s+1)}}$$

2. 閉ループ伝達関数は $G(s)=\frac{L(s)}{1+L(s)}$ より、
   

   $$\boxed{G(s)=\frac{K}{T_1{T}_2{s}^3+(T_1+T_2)s^2+s+K}}$$

3. 特性方程式は $T_1{T}_2{s}^3+(T_1+T_2)s^2+s+K=0$ となる。
   ラウス配列を構成する：

$$\begin{array}{ccc}{s}^3& T_1{T}_2& 1\\ s^2& T_1+T_2& K\\ s^1& \frac{T_1+T_2-K{T}_1{T}_2}{T_1+T_2}& 0\\ s^0& K& 0\end{array}$$

安定であるためには第1列の要素がすべて正である必要がある。$T_1,T_2>0$ より、

$$\frac{T_1+T_2-K{T}_1{T}_2}{T_1+T_2}>0\text{かつ}K>0$$
$$\boxed{0<K<\frac{T_1+T_2}{T_1{T}_2}}$$

4. $s=j\omega$ を代入して展開すると、
   

   $$L(j\omega )=\frac{K}{-(T_1+T_2){\omega }^2+j\omega (1-T_1{T}_2{\omega }^2)}$$
   $\omega =0$ のとき、位相は $-90^{\circ }$、大きさは $\infty$。
   $\omega \to \infty$ のとき、位相は $-270^{\circ }$、大きさは $0$。
   実軸との交点は虚部が $0$ になる $\omega =\frac{1}{\sqrt{T_1{T}_2}}$ のときで、交点座標は $\left(-\frac{K{T}_1{T}_2}{T_1+T_2},0\right)$ である。
   ベクトル軌跡の略図は、第3象限の無限遠から出発し、負の実軸と交わり、第2象限を通って原点に向かう曲線となる。
   略図：第3象限の無限遠から出発し、負の実軸と交わり、第2象限を通り原点に収束する。

5. $K=10$ のとき交点が $-0.2$ であることから、
   

   $$-\frac{10T_1{T}_2}{T_1+T_2}=-0.2⟹\frac{T_1{T}_2}{T_1+T_2}=0.02$$
   任意の $K$ について、実軸との交点は $-0.02K$ となる。
   ナイキストの安定判別法より、開ループ系は右半平面に極を持たないため、ベクトル軌跡が $(-1,j0)$ を包囲しないことが安定条件となる。
   $$-0.02K>-1⟹K<50$$
   $$\boxed{0<K<50}$$

6. $K$ の増大による影響：

$$\boxed{\begin{array}{rl}& \text{安定性：位相余裕・ゲイン余裕が減少し、悪化する。}\\ & \text{速応性：交差周波数が高くなり応答が速くなるため、向上する。}\\ & \text{定常特性：定常偏差が小さくなるため、向上する。}\end{array}}$$

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本题是一道典型的自动控制原理基础题，主要考查了以下几个知识点：
利用拉普拉斯变换的初值定理求时间响应的初始状态。求解角速度时需要利用拉普拉斯变换的微分性质，即 $L[\dot{f}(t)]=sF(s)-f(0)$，需要注意扣除初始状态的影响。
求解闭环传递函数以及利用劳斯判据（Routh-Hurwitz criterion）判断系统的参数稳定范围。
奈奎斯特图（Nyquist plot）的绘制与奈奎斯特稳定判据的运用。通过求取频率特性的实部与虚部，找到与实轴的交点，从而根据 $(-1,j0)$ 点是否被包围来判定系统稳定性。
开环增益对闭环系统性能指标的影响。通常开环增益增加会使得系统的稳态误差减小（定常特性提升），响应速度加快（带宽高，速应性提升），但会导致系统的相位裕度和幅值裕度降低，使得稳定性变差。