0330-2023 名情复 机械 P489

流体力学 流线 涡度

［１］ 図1に示すように，二次元空間（$x-y$平面）における流線の微小線素を$ds$，速度ベクトルを$\mathbf{V}$とする。$x$および $\mathbf{V}$方向の$ds$の成分を$dx$および$dy$，$x$および$y$方向の$V$の成分を$u$および$v$とする。この場合，流線の方程式は次式で表されることを示せ。

$$\frac{dx}{u}=\frac{dy}{v}$$

［２］ 二次元空間（$x-y$平面）における非圧縮・非粘性流れについて，以下の問に答えよ。ただし，時間を$t$，$x$およびy方向の速度成分を$u$および$v$とする。

1. 渦度$\omega$の定義を示せ。

2. つぎの渦度方程式を導け。

$$\frac{\partial \omega }{\partial t}+u\frac{\partial \omega }{\partial x}+v\frac{\partial \omega }{\partial y}=0$$

3. 渦度方程式が意味する渦度の特性を説明せよ。

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解答：

［１］
流線の定義により流線上の各点において速度ベクトルと微小線素ベクトルは平行である。微小線素ベクトルを $d\mathbf{s}=(dx,dy)$、速度ベクトルを $\mathbf{V}=(u,v)$ とすると、両者の成分の比が等しくなる。

$$\frac{dx}{u}=\frac{dy}{v}$$
(証明終)

［２］

1. 二次元空間における渦度 $\omega$ は次のように定義される。
   

   $$\boxed{\omega =\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}}$$

2. 二次元非粘性流れのオイラー方程式は以下の通りである。
   

   $$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial x}$$
   $$\frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}=-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial y}$$
   第2式を $x$ で偏微分したものから、第1式を $y$ で偏微分したものを引く。
   $$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}\right)-\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}\right)=0$$
   これを展開して整理すると次のようになる。
   $$\frac{\partial }{\partial t}\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)+u\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)+v\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)+\left(\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}\right)\left(\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}\right)=0$$
   非圧縮性流れの連続の式 $\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}=0$ と渦度の定義を代入する。
   $$\frac{\partial \omega }{\partial t}+u\frac{\partial \omega }{\partial x}+v\frac{\partial \omega }{\partial y}=0$$
   (証明終)

3. この方程式は渦度 $\omega$ の物質微分がゼロであることを表している。
   流体粒子とともに移動して観察したとき、その粒子の渦度は時間的に変化せず保存される。

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这道题目考察了流体力学中二维流线方程的推导涡度的定义无粘性流体的欧拉方程以及连续性方程的应用。通过分别对二维欧拉方程的两个分量求交叉偏导数并相减可以巧妙地消去压力项，再结合不可压缩流体的连续性条件即可化简得到所求的涡度方程。最终得到的涡度方程实际上表示了物质导数为零，反映了二维无粘不可压流动中流体微团在运动过程中的涡度守恒物理性质。