0329-2023 名情复 机械 P488

材料力学 应力分析 梁的挠度 强度理论

［１］ 長さと断面形状は一致するが，両端の支持方式が異なる二種類のはり A と B がある。図１に示すように，これらのはりには中央に荷重 $P$ が印加されている。はり A と B のばね定数を $k_A$ と $k_B$ とするとき，$k_A=k_B$ となるためのはり A と B のヤング率の比 $E_A:E_B$ を求めよ。

［２］ 図２に示すように，厚さ $t$ の板で作られた半径 $r$ の十分長い薄肉円筒殻が内圧 $p$ と $z$ 軸まわりのトルク $T$ を同時に受けている。以下の問に答えよ。

1. 図２に示すように，両端から十分離れた位置の薄肉円筒殻に微小要素 A をとる。微小要素 A に発生する周方向応力 ${\sigma }_{\theta }$，軸応力 ${\sigma }_z$ およびせん断応力 $\tau$ を求めよ。
2. 微小要素 A に作用する最大せん断応力を主応力 ${\sigma }_1$ と ${\sigma }_2$ を用いて表せ。
3. この薄肉円筒殻の降伏条件は最大せん断応力説 (トレスカの降伏条件) に従い，最大せん断応力が $k$ のとき微小要素 A は降伏するものとする。降伏するときの $p$ を求めよ。
   

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解答：

[1]
はり A の中央のたわみ ${\delta }_A$ とばね定数 $k_A$ は

$$\begin{array}{rl}{\delta }_A& =\frac{P{l}^3}{48E_{A}I}\\ k_A& =\frac{P}{{\delta }_A}=\frac{48E_{A}I}{l^3}\end{array}$$

はり B の中央のたわみ ${\delta }_B$ とばね定数 $k_B$ は

$$\begin{array}{rl}{\delta }_B& =\frac{P{l}^3}{192E_{B}I}\\ k_B& =\frac{P}{{\delta }_B}=\frac{192E_{B}I}{l^3}\end{array}$$

$k_A=k_B$ より

$$\frac{48E_{A}I}{l^3}=\frac{192E_{B}I}{l^3}$$ $$\boxed{E_A:E_B=4:1}$$

[2]
1)
力のつり合いより

$$\begin{array}{rl}{\sigma }_{\theta }\cdot 2lt& =p\cdot 2rl⟹{\sigma }_{\theta }=\frac{pr}{t}\\ {\sigma }_z\cdot 2\pi rt& =p\cdot \pi r^2⟹{\sigma }_z=\frac{pr}{2t}\\ \tau \cdot 2\pi r^{2}t& =T⟹\tau =\frac{T}{2\pi r^{2}t}\end{array}$$ $$\boxed{\begin{array}{rl}{\sigma }_{\theta }& =\frac{pr}{t}\\ {\sigma }_z& =\frac{pr}{2t}\\ \tau & =\frac{T}{2\pi r^{2}t}\end{array}}$$

面内の主応力を ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ (ただし ${\sigma }_1>{\sigma }_2$) とすると、最大せん断応力 ${\tau }_{\text{max}}$ はモールの応力円より主応力の差の半分として表される。

$$\boxed{{\tau }_{\text{max}}=\frac{{\sigma }_1-{\sigma }_2}{2}}$$

主応力 ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ は

$${\sigma }_{1,2}=\frac{{\sigma }_{\theta }+{\sigma }_z}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_{\theta }-{\sigma }_z}{2}\right)}^2+{\tau }^2}$$

最大せん断応力は

$${\tau }_{\text{max}}=\frac{{\sigma }_1-{\sigma }_2}{2}=\sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_{\theta }-{\sigma }_z}{2}\right)}^2+{\tau }^2}$$

降伏条件 ${\tau }_{\text{max}}=k$ より

$$\sqrt{{\left(\frac{\frac{pr}{t}-\frac{pr}{2t}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{T}{2\pi r^{2}t}\right)}^2}=k$$ $$\frac{p^2{r}^2}{16t^2}+\frac{T^2}{4{\pi }^2{r}^4{t}^2}=k^2$$ $$\frac{p^2{r}^2}{16t^2}=k^2-\frac{T^2}{4{\pi }^2{r}^4{t}^2}$$ $$p^2=\frac{16t^2}{r^2}\left(k^2-\frac{T^2}{4{\pi }^2{r}^4{t}^2}\right)$$ $$\boxed{p=\frac{4t}{r}\sqrt{k^2-\frac{T^2}{4{\pi }^2{r}^4{t}^2}}}$$

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第一道题目主要涉及梁的弯曲变形规律，简支梁与两端固定梁在中央受到集中载荷时，其最大挠度的表达式是材料力学中常见的基本公式。通过写出二者的弹簧常数表达式并令其相等，可以直接求得在相同截面属性与长度下弹性模量的比值。第二道题目考查了薄壁圆筒在内压和扭矩共同作用下的应力状态。通过静力学平衡条件可以分别求出径向膨胀带来的周向应力、端面受压带来的轴向应力以及扭转带来的剪切应力。在面内应力状态下，利用莫尔圆的概念可以直观地用第一主应力和第二主应力表示出最大剪切应力，将其代入特雷斯卡屈服准则的临界方程即可求出发生屈服时的极限内压大小。