0327-2023 名情复 机械 P466

力学 拉格朗日力学 阻尼振动

$\theta$ を媒介変数として

$$x=a(\theta +\sin \theta ),y=-a(1+\cos \theta )(a>0,-\pi \le \theta \le \pi )$$
で表される曲線 $\text{C}$ (サイクロイド, 下図参照) に拘束されて, 質量 $m$ の質点が滑らかに運動している。鉛直下向きの重力加速度を $g$ として, 以下の問に答えよ。

[1] $\theta$ を時間 $t$ の関数 $\theta (t)$ とし, $\dot{\theta }=\frac{d\theta }{dt}$ として, 質点の運動エネルギー $T(\theta ,\dot{\theta })$ を求めよ。
[2] 質点のポテンシャルエネルギー $U(\theta )$ を求めよ。ただし, $y=0$ のとき $U=0$ とする。
[3] 質点の運動に関するラグランジアン $L(\theta ,\dot{\theta })$ を求めよ。
[4] 質点が曲線 C の最下点 ($\theta =0$) から, $\theta$ の位置まで曲線に沿って進んだ長さ $s$ を

$$s={\int }_0^{\theta }\sqrt{{\left(\frac{dx}{d{\theta }^{\prime }}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{d{\theta }^{\prime }}\right)}^2}d{\theta }^{\prime }$$
と定める。この積分を計算し, $s$ を $\theta$ を用いて表せ。
[5] $s$ を時間 $t$ の関数 $s(t)$ とし, $\dot{s}=\frac{ds}{dt}$ として, ラグランジアン $L(s,\dot{s})$ を求めよ。
[6] 質点の運動に関して $s$ についての運動方程式を導け。
[7] $s$ の一般解を求めよ。
[8] $\theta ={\theta }_0(0<{\theta }_0\le \pi )$ から初速度 $0$ で運動を始めた質点の運動の周期は, ${\theta }_0$ によらず一定であることを説明せよ。

次に, 質点が速さに比例する大きさの抵抗を受けながら運動する場合について考えよう。なお, 抵抗の比例定数を $k>0$ とする。
[9] 質点の運動に関して $s$ についての運動方程式を書け。
[10] $\kappa =\frac{k}{2m},\omega =\sqrt{\frac{g}{4a}}$ とし, $\omega >\kappa$ のときの, $s$ の一般解を求めよ。
[11] $\theta ={\theta }_0(0<{\theta }_0\le \pi )$ から初速度 $0$ で運動を始めた質点が, 曲線 C の最下点を同じ運動の向きで通過する時間間隔は, ${\theta }_0$ によらず一定であることを説明せよ。

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解答：

[1]

$$\begin{array}{rl}\dot{x}& =a(1+\cos \theta )\dot{\theta }\\ \dot{y}& =a\sin \theta \dot{\theta }\\ T(\theta ,\dot{\theta })& =\frac{1}{2}m({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2)=\frac{1}{2}m{a}^2{\dot{\theta }}^2\left((1+\cos \theta {)}^2+{\sin }^2\theta \right)\end{array}$$ $$\boxed{T(\theta ,\dot{\theta })=m{a}^2(1+\cos \theta ){\dot{\theta }}^2}$$

[2]

$$\boxed{U(\theta )=mgy=-mga(1+\cos \theta )}$$

[3]

$$\boxed{L(\theta ,\dot{\theta })=T-U=m{a}^2(1+\cos \theta ){\dot{\theta }}^2+mga(1+\cos \theta )}$$

[4]

$$\begin{array}{rl}s& ={\int }_0^{\theta }\sqrt{a^2(1+\cos {\theta }^{\prime }{)}^2+a^2{\sin }^2{\theta }^{\prime }}d{\theta }^{\prime }\\ & ={\int }_0^{\theta }\sqrt{2a^2(1+\cos {\theta }^{\prime })}d{\theta }^{\prime }\\ & ={\int }_0^{\theta }\sqrt{4a^2{\cos }^2\frac{{\theta }^{\prime }}{2}}d{\theta }^{\prime }\\ & ={\int }_0^{\theta }2a\cos \frac{{\theta }^{\prime }}{2}d{\theta }^{\prime }\end{array}$$ $$\boxed{s=4a\sin \frac{\theta }{2}}$$

[5]

$$\begin{array}{rl}\dot{s}& =2a\cos \frac{\theta }{2}\dot{\theta }\\ {\dot{s}}^2& =4a^2{\cos }^2\frac{\theta }{2}{\dot{\theta }}^2=2a^2(1+\cos \theta ){\dot{\theta }}^2⟹T=\frac{1}{2}m{\dot{s}}^2\\ s^2& =16a^2{\sin }^2\frac{\theta }{2}=8a^2(1-\cos \theta )⟹\cos \theta =1-\frac{s^2}{8a^2}\\ U& =-mga\left(2-\frac{s^2}{8a^2}\right)=\frac{mg{s}^2}{8a}-2mga\\ L(s,\dot{s})& =T-U\end{array}$$ $$\boxed{L(s,\dot{s})=\frac{1}{2}m{\dot{s}}^2-\frac{mg{s}^2}{8a}+2mga}$$

[6]

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{s}}\right)-\frac{\partial L}{\partial s}=0$$ $$\boxed{m\ddot{s}+\frac{mg}{4a}s=0}$$

[7]

$$\boxed{s(t)=A\cos \left(\sqrt{\frac{g}{4a}}t\right)+B\sin \left(\sqrt{\frac{g}{4a}}t\right)(A,B\text{ は任意定数})}$$

[8]
運動方程式は角振動数 ${\omega }_0=\sqrt{\frac{g}{4a}}$ の単振動を表す。

$$T_0=\frac{2\pi }{{\omega }_0}=4\pi \sqrt{\frac{a}{g}}$$

周期の式に初期位置 ${\theta }_0$ が含まれていないため，周期は一定である。(証明終)

[9]

$$\boxed{m\ddot{s}+k\dot{s}+\frac{mg}{4a}s=0}$$

[10]

$$\ddot{s}+2\kappa \dot{s}+{\omega }^{2}s=0$$

特性方程式 ${\lambda }^2+2\kappa \lambda +{\omega }^2=0$ より $\lambda =-\kappa \pm i\sqrt{{\omega }^2-{\kappa }^2}$

$$\boxed{s(t)=e^{-\kappa t}\left(C\cos \left(\sqrt{{\omega }^2-{\kappa }^2}t\right)+D\sin \left(\sqrt{{\omega }^2-{\kappa }^2}t\right)\right)(C,D\text{ は任意定数})}$$

[11]
最下点を同じ運動の向きで通過する時間間隔 $T^{\prime }$ は，減衰振動の周期に等しい。

$$T^{\prime }=\frac{2\pi }{\sqrt{{\omega }^2-{\kappa }^2}}$$

この式には初期状態の ${\theta }_0$ に依存するパラメータが含まれていないため，時間間隔は一定である。(証明終)

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这道题综合考查了拉格朗日力学体系中系统动能与势能的表达形式转换，以及阻尼振动的求解与性质讨论。题目通过对摆线轨道上的质点进行运动学分析，利用弧长作为新的广义坐标，将其等效为一个一维弹簧振子模型，揭示了摆线摆所具备的等时性特征，也就是无论质点从何处释放，到达最低点或完成一次全振动所需的时间均不依赖于初始振幅。在引入速度正比的阻力项后，系统演化为受阻尼的谐振子，只要对应的微分方程的特征根存在虚部，系统便仍呈现周期性振荡衰减特性，其准周期时间间隔同样完全由摆线自身的几何常数与阻力系数决定而与初始释放位置无关。