0326-2023 名情复 数学 P465

常微分方程 常微分方程解法 非线性动力学 极限环

以下の各問に答えよ。ただし，$y^{\prime }=\mathrm{d}y/\mathrm{d}x$, $y^{\prime \prime }={\mathrm{d}}^{2}y/\mathrm{d}{x}^2$ とする。

[1] 以下の微分方程式の一般解を求めよ。

1. $y^{\prime \prime }+4y^{\prime }+4y=0$
2. $y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y={\mathrm{e}}^x$

[2] 以下の各問に答えよ。

1. $y^{\prime }=f(y/x)$ の形の微分方程式は，$v=y/x$ と変数変換することにより，変数分離形に帰着できることを示せ。
2. 微分方程式 $y^{\prime }=(x-y)/(x+y)$ を解け。

[3] 以下の2次元非線形力学系について考える。

$$\begin{array}{rl}\text{(a)}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}& =x-y-x(x^2+y^2)\\ \text{(b)}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}& =y+x-y(x^2+y^2)\end{array}$$

1. 連立微分方程式 (a)(b) の不動点を求めよ。さらにその不動点におけるヤコビ行列の固有値を求め，不動点の安定性を調べ，不動点近傍での軌道の概略を図示せよ。
2. 極座標 $x(t)=r(t)\cos \theta (t)$, $y(t)=r(t)\sin \theta (t)$ に変換して，$r(t)$ と $\theta (t)$ の微分方程式を導け。
3. $r(t)$ および $\theta (t)$ の初期値をそれぞれ $r(0)=r_0$, $\theta (0)={\theta }_0$ として，2)で導いた $r(t)$ と $\theta (t)$ の微分方程式の解を求めよ。
4. $t\to \infty$ での $r(t)$ の極限値を求め，8個の初期値 $(r_0,{\theta }_0)=(2^i,n\pi /2)(i=\pm 1,n=0,1,2,3)$ からの $t\ge 0$ における軌道の概略を図示せよ。
5. 不動点を除く任意の初期値からの解が $t\to \infty$ で漸近する軌道の式を求めよ。このような軌道は一般に何と呼ばれているか，その名称を答えよ。

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解答：
[1]

1. 特性方程式は ${\lambda }^2+4\lambda +4=0$。

$$(\lambda +2{)}^2=0⟹\lambda =-2\text{ (重解)}$$ $$\boxed{y=(C_1+C_{2}x){\mathrm{e}}^{-2x}(C_1,C_2\text{ は任意定数})}$$

2. 特性方程式は ${\lambda }^2-3\lambda +2=0⟹\lambda =1,2$。
   同次形の一般解は $y_h=C_1{\mathrm{e}}^x+C_2{\mathrm{e}}^{2x}$。
   特解を $y_p=Ax{\mathrm{e}}^x$ とおく。

$$\begin{array}{rl}{y}_p^{\prime }& =A(x+1){\mathrm{e}}^x\\ y_p^{\prime \prime }& =A(x+2){\mathrm{e}}^x\end{array}$$

元の方程式に代入：

$$A(x+2){\mathrm{e}}^x-3A(x+1){\mathrm{e}}^x+2Ax{\mathrm{e}}^x={\mathrm{e}}^x⟹-A=1⟹A=-1$$ $$\boxed{y=C_1{\mathrm{e}}^x+C_2{\mathrm{e}}^{2x}-x{\mathrm{e}}^x(C_1,C_2\text{ は任意定数})}$$

[2]

1. $y=vx⟹y^{\prime }=v^{\prime }x+v$。元の方程式に代入：

$$v^{\prime }x+v=f(v)⟹x\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=f(v)-v$$ $$\frac{1}{f(v)-v}\mathrm{d}v=\frac{1}{x}\mathrm{d}x$$

よって変数分離形に帰着できる。
(証明終)

2. $y^{\prime }=\frac{1-y/x}{1+y/x}$
   $v=y/x$ とおく。

$$v^{\prime }x+v=\frac{1-v}{1+v}⟹v^{\prime }x=\frac{1-v}{1+v}-v=\frac{1-2v-v^2}{1+v}$$ $$\frac{v+1}{v^2+2v-1}\mathrm{d}v=-\frac{1}{x}\mathrm{d}x$$

両辺を積分：

$$\frac{1}{2}\ln |v^2+2v-1|=-\ln |x|+C^{\prime }⟹\ln |v^2+2v-1|=\ln (x^{-2})+2C^{\prime }$$ $$v^2+2v-1=C{x}^{-2}$$

$v=y/x$ を代入：

$$\frac{y^2}{x^2}+\frac{2y}{x}-1=\frac{C}{x^2}$$ $$\boxed{y^2+2xy-x^2=C(C\text{ は任意定数})}$$

[3]

1. 不動点では $\dot{x}=0,\dot{y}=0$。

$$\begin{array}{rl}x-y-x(x^2+y^2)& =0\\ y+x-y(x^2+y^2)& =0\end{array}$$

$x\dot{x}+y\dot{y}=0$ より $(x^2+y^2)-(x^2+y^2{)}^2=0⟹x^2+y^2=0\text{ または }{x}^2+y^2=1$。
$x^2+y^2=1$ のとき元の方程式は $-y=0,x=0$ となり矛盾。よって不動点は $(0,0)$。
ヤコビ行列 $J$ は

$$J=\left(\begin{array}{cc}1-3x^2-y^2& -1-2xy\\ 1-2xy& 1-x^2-3y^2\end{array}\right)⟹J(0,0)=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$$

固有値方程式 $\det (J(0,0)-\lambda I)=0$ より

$$(1-\lambda {)}^2+1=0⟹\lambda =1\pm \mathrm{i}$$ $$\boxed{\begin{array}{rl}& \text{不動点: }(0,0)\\ & \text{固有値: }\lambda =1\pm \mathrm{i}\\ & \text{安定性: 不安定}\\ & \text{軌道概略: 原点から外側へ広がる反時計回りの螺旋 (図略)}\end{array}}$$

2. $r^2=x^2+y^2,r\dot{r}=x\dot{x}+y\dot{y},r^2\dot{\theta }=x\dot{y}-y\dot{x}$ を用いる。

$$\begin{array}{rl}r\dot{r}& =x(x-y-x{r}^2)+y(y+x-y{r}^2)=r^2-r^4⟹\dot{r}=r(1-r^2)\\ r^2\dot{\theta }& =x(y+x-y{r}^2)-y(x-y-x{r}^2)=x^2+y^2=r^2⟹\dot{\theta }=1\end{array}$$ $$\boxed{\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}& =r(1-r^2)\\ \frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t}& =1\end{array}}$$

3. $\dot{\theta }=1⟹\theta (t)=t+{\theta }_0$。
   $\dot{r}=r(1-r^2)$ より変数分離して積分：

$$\int \left(\frac{1}{r}+\frac{r}{1-r^2}\right)\mathrm{d}r=\int \mathrm{d}t⟹\ln r-\frac{1}{2}\ln |1-r^2|=t+C$$ $$\frac{r^2}{|1-r^2|}=C^{\prime }{\mathrm{e}}^{2t}$$

初期条件より $C^{\prime }=\frac{r_0^2}{|1-r_0^2|}$。$r_0\ne 1$ のとき符号を外して整理：

$$r^2(1-r_0^2)=r_0^2{\mathrm{e}}^{2t}(1-r^2)⟹r^2=\frac{r_0^2{\mathrm{e}}^{2t}}{1-r_0^2+r_0^2{\mathrm{e}}^{2t}}$$ $$\boxed{\begin{array}{rl}r(t)& =\frac{r_0}{\sqrt{r_0^2+(1-r_0^2){\mathrm{e}}^{-2t}}}\\ \theta (t)& =t+{\theta }_0\end{array}}$$

4. $t\to \infty$ のとき ${\mathrm{e}}^{-2t}\to 0$。

$$\boxed{\begin{array}{rl}& \underset{t\to \infty }{\lim }r(t)=1\\ & \text{軌道概略: }{r}_0=2\text{ からは外側から, }{r}_0=1/2\text{ からは内側から}\\ & \text{それぞれ }r=1\text{ の円に反時計回りに巻きつく (図略)}\end{array}}$$

5. 軌道は極限において $r=1$ に漸近する。

$$\boxed{\begin{array}{rl}& \text{軌道の式: }{x}^2+y^2=1\\ & \text{名称: リミットサイクル (極限閉軌道)}\end{array}}$$

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这道题目主要考察了常微分方程的不同解法以及平面非线性动力系统的定性分析与求解。第一题涵盖了二阶常系数线性微分方程的求解方法。对于齐次方程通过特征方程的根可以直接写出通解，对于非齐次方程当自由项指数系数等于特征单根时，需要运用待定系数法寻找特解并注意乘以自变量。第二题考查了一阶齐次微分方程，通过引入中间变量进行代换，将其转化为可分离变量的形式，然后利用部分分式分解进行积分计算得到隐函数解。第三题深入探讨了二维非线性动力系统。首先要求解系统平衡点，计算该点雅可比矩阵的特征值来判断其局部稳定性，由于特征值具有正实部因此原点是不稳定焦点。接着运用极坐标变换将非线性方程组解耦为径向和角向相互独立的简单一阶微分方程，从而求出解析解。通过对解析解求极限，可以证明无论初始状态在单位圆内外系统最终都会收敛到单位圆上，这种孤立的闭合轨线被称为极限环，是自激振荡系统中的重要物理现象。