0323-2022 名情复 机械 P460

流体力学 オイラーの運動方程式 ベルヌーイの定理

[ 1 ] 三次元非粘性・非圧縮・定常流に対するオイラーの運動方程式を記述せよ。ただし，デカルト座標系を$(x,y,z)$，流速を$(u,v,w)$，単位質量あたりに作用する保存力を$(X,Y,Z)$，密度を$\rho$，圧力を$p$とする。

[ 2 ] オイラーの運動方程式からベルヌイの式を導け。ただし，必要に応じて変数を定義して用いよ。

[ 3 ] ベルヌイの式を利用した$2$種類の流速測定法について述べよ。ただし，数式や図を用いてもよい。

---

解答：

[ 1 ]

$$\boxed{\begin{array}{rl}u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}+w\frac{\partial u}{\partial z}& =X-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial x}\\ u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}+w\frac{\partial v}{\partial z}& =Y-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial y}\\ u\frac{\partial w}{\partial x}+v\frac{\partial w}{\partial y}+w\frac{\partial w}{\partial z}& =Z-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial z}\end{array}}$$

[ 2 ]
流線に沿った微小変位を$(dx,dy,dz)$とする。流線の定義$dx/u=dy/v=dz/w$より、

$$\begin{array}{rl}u\frac{\partial u}{\partial x}dx+v\frac{\partial u}{\partial y}dx+w\frac{\partial u}{\partial z}dx& =\left(\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy+\frac{\partial u}{\partial z}dz\right)u=udu=d\left(\frac{u^2}{2}\right)\\ u\frac{\partial v}{\partial x}dy+v\frac{\partial v}{\partial y}dy+w\frac{\partial v}{\partial z}dy& =vdv=d\left(\frac{v^2}{2}\right)\\ u\frac{\partial w}{\partial x}dz+v\frac{\partial w}{\partial y}dz+w\frac{\partial w}{\partial z}dz& =wdw=d\left(\frac{w^2}{2}\right)\end{array}$$

[ 1 ]の各式の両辺にそれぞれ$dx,dy,dz$を掛け、辺々を加えると

$$d\left(\frac{u^2+v^2+w^2}{2}\right)=Xdx+Ydy+Zdz-\frac{1}{\rho }\left(\frac{\partial p}{\partial x}dx+\frac{\partial p}{\partial y}dy+\frac{\partial p}{\partial z}dz\right)$$

流速の大きさを$V=\sqrt{u^2+v^2+w^2}$、保存力のポテンシャルを$\Omega$（$(X,Y,Z)=(-\frac{\partial \Omega }{\partial x},-\frac{\partial \Omega }{\partial y},-\frac{\partial \Omega }{\partial z})$）と定義する。

$$d\left(\frac{V^2}{2}\right)=-d\Omega -\frac{dp}{\rho }$$

非圧縮性流体($\rho =\text{const}$)を仮定して積分すると

$$\boxed{\frac{V^2}{2}+\frac{p}{\rho }+\Omega =\text{const}}$$

[ 3 ]
(1) ピトー管
よどみ点圧（全圧）$p_0$、静圧$p$、流速$V$とすると、

$$\boxed{\begin{array}{rl}{p}_0& =p+\frac{1}{2}\rho V^2\\ V& =\sqrt{\frac{2(p_0-p)}{\rho }}\end{array}}$$

(2) ベンチュリ管
上流と絞り部の断面積を$A_1,A_2$、圧力を$p_1,p_2$、流速を$V_1,V_2$とする。連続の式$A_1{V}_1=A_2{V}_2$とベルヌイの式より、

$$\boxed{\begin{array}{rl}\frac{1}{2}\rho V_1^2+p_1& =\frac{1}{2}\rho V_2^2+p_2\\ V_1& =\sqrt{\frac{2(p_1-p_2)}{\rho \left\{{\left(\frac{A_1}{A_2}\right)}^2-1\right\}}}\end{array}}$$

---

这道题考查了流体力学中的基础方程。第一问要求写出稳态、不可压缩、无黏流体的欧拉运动方程，通常采用直角坐标系下的分量形式表达，左边是流体微团的对流加速度项，右边是质量力与表面压力梯度。第二问是流体力学中的经典推导，核心技巧在于沿着流线取微小位移，利用流线方程将对流加速度项转化为动能的全微分，同时引入速度势和力场势能的定义，积分后便得到了能量守恒的伯努利方程。第三问是伯努利方程在工程测量中的直接应用，皮托管通过测量驻点压强（速度降为零处）与静压的差值来解算流速；文丘里管则结合了连续性方程，通过管道截面积的变化产生压强差，从而推导出截面流速的关系式，计算过程主要涉及方程组的代数消元。