0322-2022 名情复 机械 P459

材料力学 截面二次矩 弯曲应力 偏心受压

図1のように，断面が幅$b$と高さ$h$の長方形である長さ$\ell$の片持ちはりに荷重$P$と$W$が同時に作用している。ただし，$W$の作用点は座標$(0,e_y,e_z)$にある。以下の問に答えよ。

[1] $W$が，$e_y=e_z=0$の原点Oに作用している場合を考える。

1. $z$軸周りの断面二次モーメント$I_z$を求めよ。
2. 断面mnに作用するせん断応力${\tau }_{xy}$の平均値を求めよ。
3. 断面mnに作用する垂直応力${\sigma }_x$がmn全面で負となるための条件を$P$と$W$の不等式で示せ。

[2] 図1において$P=0$で，荷重$W$が偏心して作用している場合を考える。

1. $y$軸周りの断面二次モーメント$I_y$を求めよ。
2. 断面mnに作用する垂直応力${\sigma }_x$がmn全面で負となるための条件式を求め，$e_y$と$e_z$の範囲を図で示せ。
   

---

解答：

[1]
1)

$$\boxed{\begin{array}{rl}{I}_z& =\frac{b{h}^3}{12}\end{array}}$$

断面mnにおけるせん断力は$V=P$であるから，

$$\boxed{\begin{array}{rl}{\bar{\tau }}_{xy}& =\frac{P}{bh}\end{array}}$$

断面mn($x=\ell /2$)における曲げモーメントは $M_z=P\frac{\ell }{2}$ であり，断面の上端($y=-h/2$)で最大の引張曲げ応力が生じる。
全面で垂直応力が負(圧縮)となるためには，この最大引張応力が軸荷重$W$による一様圧縮応力よりも小さければよい。

$${\sigma }_{x,\max }=-\frac{W}{bh}+\frac{P(\ell /2)(h/2)}{I_z}<0$$
$$-\frac{W}{bh}+\frac{3P\ell }{b{h}^2}<0$$
$$\boxed{\begin{array}{rl}W& >\frac{3\ell }{h}P\end{array}}$$

[2]
1)

$$\boxed{\begin{array}{rl}{I}_y& =\frac{h{b}^3}{12}\end{array}}$$

偏心荷重$W$は，図心における圧縮荷重$W$および曲げモーメント $M_y=W{e}_z$ と $M_z=W{e}_y$ と等価である(符号は絶対値で考慮)。
断面上の任意の点$(y,z)$における垂直応力は，

$${\sigma }_x(y,z)=-\frac{W}{bh}-\frac{W{e}_{y}y}{I_z}-\frac{W{e}_{z}z}{I_y}$$
これが全面で ${\sigma }_x<0$ となるためには，断面の四隅 $(y,z)=(\pm h/2,\pm b/2)$ において ${\sigma }_x<0$ となればよい。
最大引張成分が生じる点で評価すると，
$$-\frac{W}{bh}+\frac{W|e_y|(h/2)}{b{h}^3/12}+\frac{W|e_z|(b/2)}{h{b}^3/12}<0$$
$$-\frac{1}{bh}+\frac{6|e_y|}{b{h}^2}+\frac{6|e_z|}{h{b}^2}<0$$
$$\boxed{\begin{array}{rl}\frac{6|e_y|}{h}+\frac{6|e_z|}{b}& <1\end{array}}$$

範囲は，$e_z$-$e_y$平面において、4点 $(b/6,0),(0,h/6),(-b/6,0),(0,-h/6)$ を頂点とするひし形の内部（境界を含まない）である。