0320-2022 名情复 机械 P432

力学 拉格朗日力学 耦合振子

質量 $m$ の二つの質点1，質点2が，フックの法則に従う質量の無視できるバネ1，バネ2に図のように連結され，滑らかな水平面上を直線運動している。バネ1，バネ2のバネ定数はともに $k$，二つのバネの自然長はともに $l$ とする。バネ1の左端は床と垂直な壁につながれている。また，質点2には運動と平行な向きに一定の力 $F$ がはたらいている。壁から右方向を $x$ 軸の正の向きとし，壁の位置を $x$ 軸上の原点Oとする。以下の問に答えよ。

[1] 質点1，質点2の位置を，それぞれ $x_1,x_2$ とし，系のポテンシャルエネルギー $U(x_1,x_2)$ を求めよ。なお，力 $F$ によるポテンシャルエネルギーの基準は原点であるとする。

[2] ${\dot{x}}_i=\frac{d{x}_i}{dt}$ ($i=1,2$) とし，系の運動エネルギー $T({\dot{x}}_1,{\dot{x}}_2)$ を求めよ。

[3] この系のラグランジアン $L(x_1,x_2,{\dot{x}}_1,{\dot{x}}_2)$ を求めよ。

[4] オイラー・ラグランジュ方程式を利用して，質点1，質点2の運動方程式を求めよ。

[5] $F=0$ とし，二つの質点が振動しているとき，固有角振動数をすべて求めよ。ただし，${\omega }_0\equiv \sqrt{\frac{k}{m}}$ として，${\omega }_0$ を用いて表せ。

次に別の状況について考えよう。$F$ の大きさを少しずつ変えて，二つのバネが自然長の状態から，力の釣り合いを保ちながら，ゆっくりと質点2を右向きに移動させていったところ，$x_2=3l$ のときに，バネ1の左端が壁から離れた。バネ1が壁から離れる瞬間の時刻を $t=0$ とする。バネ1が壁から離れる直前に質点2にはたらいていた力を $F_0$ とし，バネ1が壁から離れた後も質点2には $F_0$ と同じ力がはたらき続けるとする。また，バネ1は壁から離れた後，二つの質点の運動に影響を及ぼさないとする。以下の問に答えよ。

[6] $t=0$ での $x_1$ を求めよ。

[7] $F_0$ を求めよ。

[8] $t\ge 0$ で，$x_2$ を $t$ の関数として表せ。

[9] $0\le t\ll \sqrt{\frac{m}{2k}}$ のとき，質点2はどのような振る舞いをするか説明せよ。必要ならば，$|\theta |\ll 1$ のとき，$\cos \theta \simeq 1-\frac{{\theta }^2}{2}$ と近似されることを用いてよい。

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解答：

[1]
バネ1，バネ2の伸びはそれぞれ $x_1-l$, $x_2-x_1-l$ であり，力 $F$ のポテンシャルは $-F{x}_2$ であるから、

$$\boxed{U(x_1,x_2)=\frac{1}{2}k(x_1-l{)}^2+\frac{1}{2}k(x_2-x_1-l{)}^2-F{x}_2}$$

[2]

$$\boxed{T({\dot{x}}_1,{\dot{x}}_2)=\frac{1}{2}m{\dot{x}}_1^2+\frac{1}{2}m{\dot{x}}_2^2}$$

[3]
$L=T-U$ より、

$$\boxed{L=\frac{1}{2}m{\dot{x}}_1^2+\frac{1}{2}m{\dot{x}}_2^2-\frac{1}{2}k(x_1-l{)}^2-\frac{1}{2}k(x_2-x_1-l{)}^2+F{x}_2}$$

[4]
オイラー・ラグランジュ方程式 $\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial {\dot{x}}_i}\right)-\frac{\partial L}{\partial x_i}=0$ に代入して、

$$\frac{d}{dt}(m{\dot{x}}_1)-\left[-k(x_1-l)+k(x_2-x_1-l)\right]=0$$
$$\frac{d}{dt}(m{\dot{x}}_2)-\left[-k(x_2-x_1-l)+F\right]=0$$
$$\boxed{\begin{array}{rl}m{\ddot{x}}_1& =-2k{x}_1+k{x}_2\\ m{\ddot{x}}_2& =k{x}_1-k{x}_2+kl+F\end{array}}$$

[5]
$F=0$ のときの平衡位置は $x_1=l,x_2=2l$ である。微小変位を ${\xi }_1=x_1-l,{\xi }_2=x_2-2l$ とおくと、

$$\begin{array}{rl}m{\ddot{\xi }}_1& =-2k{\xi }_1+k{\xi }_2\\ m{\ddot{\xi }}_2& =k{\xi }_1-k{\xi }_2\end{array}$$
${\xi }_i=A_i{e}^{i\omega t}$ とおき、非自明な解をもつ条件（行列式が0）より、
$$\det \left(\begin{array}{cc}-2k+m{\omega }^2& k\\ k& -k+m{\omega }^2\end{array}\right)=0$$
$$(m{\omega }^2{)}^2-3k(m{\omega }^2)+k^2=0$$
$${\omega }^2=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}\frac{k}{m}=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}{\omega }_0^2$$
$$\boxed{\omega =\sqrt{\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}}{\omega }_0}$$

[6]
ゆっくりと移動させるため、常に力の釣り合いが成立する。質点1について、

$$k(x_1-l)=k(x_2-x_1-l)⟹2x_1=x_2$$
$x_2=3l$ のとき、
$$\boxed{x_1=\frac{3}{2}l}$$

[7]
質点2の力の釣り合いより、

$$F_0=k(x_2-x_1-l)=k\left(3l-\frac{3}{2}l-l\right)$$
$$\boxed{F_0=\frac{1}{2}kl}$$

[8]
$t\ge 0$ における運動方程式は、バネ1が影響しないため、

$$\begin{array}{rl}m{\ddot{x}}_1& =k(x_2-x_1-l)\\ m{\ddot{x}}_2& =-k(x_2-x_1-l)+F_0\end{array}$$
重心座標 $X=\frac{x_1+x_2}{2}$ と相対座標 $x=x_2-x_1$ を用いる。
重心の運動方程式：
$$2m\ddot{X}=F_0=\frac{1}{2}kl⟹\ddot{X}=\frac{kl}{4m}$$
$X(0)=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{2}l+3l\right)=\frac{9}{4}l,\dot{X}(0)=0$ より、
$$X(t)=\frac{9}{4}l+\frac{kl}{8m}{t}^2$$
相対運動の運動方程式：
$$m\ddot{x}=m({\ddot{x}}_2-{\ddot{x}}_1)=-2k(x-l)+F_0=-2kx+\frac{5}{2}kl$$
$$\ddot{x}=-\frac{2k}{m}\left(x-\frac{5}{4}l\right)$$
$x(0)=3l-\frac{3}{2}l=\frac{3}{2}l,\dot{x}(0)=0$ より、
$$x(t)=\frac{5}{4}l+\frac{1}{4}l\cos \left(\sqrt{\frac{2k}{m}}t\right)$$
したがって、$x_2(t)=X(t)+\frac{1}{2}x(t)$ は、
$$x_2(t)=\frac{9}{4}l+\frac{kl}{8m}{t}^2+\frac{5}{8}l+\frac{1}{8}l\cos \left(\sqrt{\frac{2k}{m}}t\right)$$
$$\boxed{x_2(t)=\frac{23}{8}l+\frac{kl}{8m}{t}^2+\frac{1}{8}l\cos \left(\sqrt{\frac{2k}{m}}t\right)}$$

[9]
$\theta =\sqrt{\frac{2k}{m}}t$ とおくと、条件より $\theta \ll 1$ である。
$\cos \theta \simeq 1-\frac{{\theta }^2}{2}$ を用いて $x_2(t)$ を近似すると、

$$x_2(t)\simeq \frac{23}{8}l+\frac{kl}{8m}{t}^2+\frac{1}{8}l\left(1-\frac{1}{2}\frac{2k}{m}{t}^2\right)=\frac{24}{8}l=3l$$
$$\boxed{\text{位置が }3l\text{ からほとんど変化せず、静止し続けるような振る舞いをする。}}$$

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本题主要考察拉格朗日力学在多自由度耦合振子系统中的应用，以及利用微小参数进行近似求解的物理思想。第一部分是标准的多自由度体系振动问题，通过建立系统的动能和势能求出拉格朗日量，并利用欧拉-拉格朗日方程推导动力学方程，求解本征频率。这里需要注意恒定外力对平衡位置的影响。第二部分转化为初值问题，巧妙地引入质心坐标和相对坐标可以实现两物体运动方程的解耦，进而分别求解匀加速运动和简谐振动，大幅简化了求解过程。在最后一问中，通过数学近似展示了物理图像的本质：由于脱离瞬间质点2所受的弹簧弹力与外力恰好平衡，其合力为零，因此在极短时间内加速度为零，表现为保持原有静止状态的特性。