以下の各問に答えよ。
[1] 時間 の実関数 に対して，
が成り立つとき，次の問に答えよ。
- 式 (1) の両辺に を掛けた式から を与える式を求めよ。
- を正定数として，初期条件が および のように与えられたときの を与える式を求めよ。
-
- の初期条件の下で， が となるまでの時間を求めよ。
[2] 関数 は連続として，関数 を
とおく。このとき，次の問に答えよ。
- の原始関数を とする。 を を使って表せ。
- の 階の導関数を のみで表せることを示せ。
[3] を時間変数として，次の問に答えよ。
- 関数 の導関数 と は連続とする。次が成り立つことを示せ。
- は時間とともに変動する2次元有界領域とする (下図の網掛け領域)。 の変動速度を表すベクトル場を とする。 の境界 は滑らかで，その外向き法線を とする。一方， は2次元空間上で定義された任意の有界連続な関数で， の変動による影響を受けないものとする。このとき，次の空欄に入る式を示せ。
ただし， と はそれぞれ微小面積と微小長さを表す。
解答：
[1]
1)
[2]
1)
(証明終)
[3]
1)
(証明終)
这道题主要考查了常微分方程的降阶求解、变上限积分函数的求导法则以及二维空间中变动积分区域的雷诺输运定理。第一部分通过给方程两端同乘一阶导数巧妙地将二阶微分方程转化为一阶全微分形式，进而通过初始条件确定积分常数并求出特解。第二部分围绕变上限积分，运用分部积分法可以将其通过原函数表达出来，同时多次利用莱布尼茨积分法则对其求导，能够得出高阶导数与被积函数之间的简洁关系。第三部分从一维变上限积分求导入手作为铺垫，延伸至二维空间中积分域随时间变动的情形，由于被积函数本身不随时间演变，积分值对时间的变化率完全取决于区域边界扩张所扫过的微小面积，这在数学上体现为被积函数与边界外法向速度点乘在边界上的线积分。