0317-2019 名情复 机械 P428

控制学 自动控制原理

時間関数 $f(t)$ をラプラス変換した関数を $F(s)$ のように書くことにする。

[1] ブロック線図を図1，単位ステップ応答を図2に示すフィードバック制御系について，以下の問に答えよ。ただし，図中の $k$, $p$, $a$, $b$ は正の実数である。

1. 入力 $R(s)$ から出力 $Y(s)$ までの閉ループ伝達関数を求めよ。
2. 入力 $R(s)$ から偏差 $E(s)$ までの伝達関数を求めよ。
3. 単位ステップ入力のときの偏差を $e(t)=0.5[\exp (-2t)+\exp (-8t)]$ として，$p$, $a$, $b$ の値を求めよ。
4. 問3)で求めた $p$, $a$, $b$ の値を用いて，$k$ の値を求めよ。
   

[2] 一巡伝達関数が $L(s)=\frac{k}{s(s^2+8s+25)}$ となる直結フィードバック制御系について，以下の問に答えよ。ただし，$k$ は正の実数である。

1. ゲイン余裕を $20\text{ dB}$ とするための $k$ の値を求めよ。
2. ステップ応答の定常状態が振幅一定の周期振動となる場合の $k$ の値を求めよ。
3. 閉ループ制御系のすべての極の実部が $-2$ より小さいときの $k$ の値を求めよ。

---

解答：

[1]
1)
前向き伝達関数を $G(s)=\frac{k(s+a)}{s^p(bs+1)}$，フィードバック伝達関数を $H(s)=\frac{1}{k}$ とすると，閉ループ伝達関数 $W(s)$ は，

$$\begin{array}{rl}W(s)& =\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}\\ & =\frac{\frac{k(s+a)}{s^p(bs+1)}}{1+\frac{s+a}{s^p(bs+1)}}\\ & =\boxed{\frac{k(s+a)}{s^p(bs+1)+s+a}}\end{array}$$

偏差 $E(s)$ は $E(s)=R(s)-\frac{1}{k}Y(s)$ であるから，

$$\begin{array}{rl}\frac{E(s)}{R(s)}& =1-\frac{1}{k}W(s)\\ & =1-\frac{s+a}{s^p(bs+1)+s+a}\\ & =\boxed{\frac{s^p(bs+1)}{s^p(bs+1)+s+a}}\end{array}$$

$e(t)=0.5[\exp (-2t)+\exp (-8t)]$ をラプラス変換すると，

$$E(s)=0.5\left(\frac{1}{s+2}+\frac{1}{s+8}\right)=\frac{s+5}{s^2+10s+16}$$

単位ステップ入力 $R(s)=\frac{1}{s}$ のとき，問2)の結果より，

$$E(s)=\frac{s^{p-1}(bs+1)}{b{s}^{p+1}+s^p+s+a}$$

両式の分母の次数を比較すると $p+1=2$ より $p=1$ である。このとき，

$$E(s)=\frac{bs+1}{b{s}^2+2s+a}=\frac{s+\frac{1}{b}}{s^2+\frac{2}{b}s+\frac{a}{b}}$$

係数を比較して，

$$\frac{1}{b}=5,\frac{a}{b}=16$$

これらを解いて，

$$\boxed{p=1,a=3.2,b=0.2}$$

最終値の定理と図2の単位ステップ応答の定常値より，

$$y(\infty )=\underset{s\to 0}{\lim }sY(s)=\underset{s\to 0}{\lim }s\cdot \frac{k(s+a)}{s(b{s}^2+2s+a)}\frac{1}{s}=k$$

図2より $y(\infty )=1$ であるから，

$$\boxed{k=1}$$

[2]
1)
開ループ伝達関数は $L(s)=\frac{k}{s(s^2+8s+25)}$ である。
周波数伝達関数は，

$$L(j\omega )=\frac{k}{j\omega (-{\omega }^2+8j\omega +25)}=\frac{k}{-8{\omega }^2+j\omega (25-{\omega }^2)}$$

位相交差角周波数 ${\omega }_{pc}$ は虚部が0となる条件から，

$$25-{\omega }_{pc}^2=0⟹{\omega }_{pc}=5\text{ rad/s}$$

このときのゲインは $|L(j{\omega }_{pc})|=\frac{k}{8\times 25}=\frac{k}{200}$ である。
ゲイン余裕が $20\text{ dB}$ であるから，

$$20{\log }_{10}\frac{1}{|L(j{\omega }_{pc})|}=20⟹\frac{200}{k}=10$$ $$\boxed{k=20}$$

閉ループ系の特性方程式は $1+L(s)=0$ より，

$$s^3+8s^2+25s+k=0$$

ラウスの配列を作成する。

$$\begin{array}{rl}& s^{3}125\\ & s^{2}8k\\ & s^1\frac{200-k}{8}0\\ & s^{0}k\end{array}$$

ステップ応答の定常状態が振幅一定の周期振動となるのは，特性方程式が純虚数根をもつ限界安定の状態である。したがって $s^1$ の行が0になればよく，

$$\frac{200-k}{8}=0⟹\boxed{k=200}$$

すべての極の実部が $-2$ より小さい条件を求めるため，$s=z-2$ と変換し，すべての $z$ の極の実部が負になる条件を求める。
特性方程式に代入すると，

$$(z-2{)}^3+8(z-2{)}^2+25(z-2)+k=0$$

展開して整理すると，

$$z^3+2z^2+5z+k-26=0$$

ラウスの配列を作成する。

$$\begin{array}{rl}& z^{3}15\\ & z^{2}2k-26\\ & z^1\frac{10-(k-26)}{2}0\\ & z^{0}k-26\end{array}$$

すべての根の実部が負となるためには，第1列の要素がすべて正でなければならない。

$$\begin{array}{rl}\frac{36-k}{2}& >0⟹k<36\\ k-26& >0⟹k>26\end{array}$$

したがって，求める $k$ の範囲は，

$$\boxed{26<k<36}$$

---

本题主要考查自动控制原理中的闭环系统数学模型推导、时域稳态分析、频域分析及劳斯稳定性判据的应用。第一大题要求熟练化简方框图求出传递函数，并运用拉普拉斯逆变换和终值定理，将时间响应表达式与频域中的传递函数系数对应起来，从而推算出未知的系统参数。第二大题考查频率响应下的增益裕度计算，需要找到虚部为零的相位交叉频率并进而求解增益要求；此外还考察了通过变量代换平移系统的极点，再利用劳斯阵列求出让所有闭环极点实部均小于特定值的参数范围，展现了劳斯判据在指定相对稳定性裕度时的灵活性。