0316-2019 名情复 机械 P427

流体力学 伯努利定理 连续性方程 静水压力 边界层

[1] 図1のように，水が貯められたタンクの底部の小孔から，水が大気中に流出している。以下の問に答えよ。ただし，水深を$h$，小孔の断面積を$A_0$とし，小孔における流れのエネルギー損失，水流と空気の摩擦，および表面張力はないものとする。また，$h$の時間変化は無視できるものとする。

1. 小孔における水の速度を求めよ。
2. 小孔から鉛直下向きに$x$だけ離れた位置における，水流の断面積$A(x)$を求めよ。
   

[2] 図2のように，水が貯められたタンクの底部の小孔を半球殻が塞いでいる。半球殻を鉛直上方に引き上げるための力$F$を求めよ。ただし，水の密度を$\rho$，水深を$h$，半球殻の外径および質量をそれぞれ$2r_0$および$m$とする。なお，$h>r_0$とする。

[3] 以下の用語について，それぞれ150字以内で説明せよ。ただし，数式や図を併用してもよい。

1. ポテンシャル流れ
2. 境界層
3. 後流

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解答：
[1]
1)
ベルヌーイの定理より，水面と小孔における単位体積あたりの力学的エネルギーは保存されるため，

$$\rho gh=\frac{1}{2}\rho v_0^2$$ $$\boxed{v_0=\sqrt{2gh}}$$

連続の式より，任意の断面において流量は一定である。小孔から距離$x$だけ落下した位置での速度を$v(x)$とすると，

$$A_0{v}_0=A(x)v(x)$$

力学的エネルギー保存則より，落下位置$x$での速度$v(x)$は，

$$v(x)=\sqrt{v_0^2+2gx}=\sqrt{2g(h+x)}$$

したがって，

$$\boxed{A(x)=A_0\sqrt{\frac{h}{h+x}}}$$

[2]
半球殻の表面上の微小面積に働く水圧の鉛直下向き成分を積分し，水が半球殻を押す力$P$を求める。半球殻の底面の中心を原点とし，鉛直上向きを$z$軸とすると，$r^2+z^2=r_0^2$より$r\mathrm{d}r=-z\mathrm{d}z$となるため，

$$\begin{array}{rl}P& ={\int }_0^{r_0}\rho g(h-z)\cdot 2\pi r\mathrm{d}r\\ & ={\int }_{r_0}^0\rho g(h-z)\cdot 2\pi (-z)\mathrm{d}z\\ & =2\pi \rho g{\int }_0^{r_0}(hz-z^2)\mathrm{d}z\\ & =2\pi \rho g{\left[\frac{1}{2}h{z}^2-\frac{1}{3}{z}^3\right]}_0^{r_0}\\ & =\pi \rho g{r}_0^2\left(h-\frac{2}{3}{r}_0\right)\end{array}$$

引き上げる力$F$は，半球殻の重力と水圧による力の和であるから，

$$\boxed{F=mg+\pi \rho g{r}_0^2\left(h-\frac{2}{3}{r}_0\right)}$$

[3]

1. ポテンシャル流れ
   流体の各点において渦度がゼロである無回転流れのこと。このとき速度ベクトルはスカラー関数である速度ポテンシャルの勾配として$\mathbf{v}=\nabla \Phi$と表される。非粘性で不可圧縮な流体の場合，速度ポテンシャルはラプラス方程式を満たす。

2. 境界層
   粘性流体が固体表面に沿って流れるとき，壁面での粘着条件（相対速度ゼロ）により，壁面近くに速度勾配が非常に大きくなる薄い流体層が形成される。これを境界層と呼ぶ。この層の外側では流体の粘性の影響は無視できる。

3. 後流
   流体が鈍体などを過ぎ去った後方（下流側）に形成される，速度が周囲の主流よりも遅くなっている領域のこと。物体表面での境界層の剥離によって生じる渦の放出や乱れを伴い，圧力の低下と運動エネルギーの散逸が起こる。

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这道流体力学试题主要考察了理想流体的定常流动和静止流体内部压力的计算以及流体力学基本概念。在第一部分中对于水箱底部孔口出流问题利用伯努利定理可以非常方便地计算出初始流速再根据不可压缩流体的连续性方程流量守恒从而得到水流横截面积随下落高度变化的表达式。第二部分涉及静水压力计算需要求解水面上具有一定水深的半球面上所受到的竖直向下的静水总压力既可以通过对半球面上的水压强进行面积分来严格计算也可以利用等效水柱原理即曲面上受到的流体总压力竖直分量等于该曲面正上方直至自由液面的流体柱的重力直接得出结果然后加上半球壳本身的重力就是拉起所需的总力。第三部分考察了几个重要概念势流是指流速场无旋的流动此时速度可以表示为势函数的梯度边界层是粘性流体在固体表面流过时由于无滑移条件导致速度梯度极大的极薄流体层尾流则是流体绕过物体后在其后方形成的伴随涡流脱落和能量耗散的低速区域这几个概念是粘性流体力学和空气动力学的基础。