0315-2019 名情复 机械 P426

材料力学 结构力学 梁的挠度 应力分析 莫尔圆

[1] 図1と2に示すような二種類のはりがある。これらのはりの長さは $\ell$，ヤング率（縦弾性係数）は $E$（一定），断面二次モーメントは $I$（一定）とする。中点Cに荷重 $W$ を作用させるとき，図1と2のはりについて，中点Cの変位を求めよ。

[2] 図3に示す厚さ $t$ の板で作られた半径 $r$ の十分長い薄肉円筒が内圧 $p$ を受けている。板材料のヤング率とポアソン比をそれぞれ $E$ と $\nu$ とするとき，以下の問に答えよ。

1. 両端から十分離れた部分の微小要素Aに発生する応力 ${\sigma }_{\theta }$ と ${\sigma }_z$ を求めよ。
2. 微小要素Aに発生するひずみ ${\epsilon }_{\theta }$ と ${\epsilon }_z$ を求めよ。
3. また，両端に $z$ 軸周りのトルク $T$ が作用するとき，微小要素Aの主応力と主方向を求めよ。ただし，薄肉円筒は静止しているものとする。
   

---

解答：

[1]
図1のはり（両端支持はり）において，左端を原点として $0\le x\le \ell /2$ における曲げモーメントを $M_1(x)$，たわみを $v_1(x)$ とすると，

$$M_1(x)=\frac{W}{2}x$$

弾性曲線方程式より，

$$EI{v}_1^{\prime \prime }(x)=-M_1(x)=-\frac{W}{2}x$$

積分して，対称性より $v_1^{\prime }(\ell /2)=0$ であることから積分定数を定めると，

$$EI{v}_1^{\prime }(x)=-\frac{W}{4}{x}^2+\frac{W{\ell }^2}{16}$$ $$EI{v}_1(x)=-\frac{W}{12}{x}^3+\frac{W{\ell }^2}{16}x+C_2$$

境界条件 $v_1(0)=0$ より $C_2=0$。中点Cの変位 ${\delta }_1$ は，

$$\boxed{{\delta }_1=v_1(\ell /2)=\frac{W{\ell }^3}{48EI}}$$

図2のはり（両端固定はり）において，端部の固定モーメントを $M_0$ とする。$0\le x\le \ell /2$ における曲げモーメント $M_2(x)$ とたわみ $v_2(x)$ について，

$$M_2(x)=\frac{W}{2}x-M_0$$ $$EI{v}_2^{\prime \prime }(x)=M_0-\frac{W}{2}x$$

境界条件 $v_2^{\prime }(0)=0$ より積分定数は $0$ となり，

$$EI{v}_2^{\prime }(x)=M_{0}x-\frac{W}{4}{x}^2$$

対称性より $v_2^{\prime }(\ell /2)=0$ であるため，

$$M_0\frac{\ell }{2}-\frac{W}{4}\frac{{\ell }^2}{4}=0\Rightarrow M_0=\frac{W\ell }{8}$$

さらに積分し，境界条件 $v_2(0)=0$ より，

$$EI{v}_2(x)=\frac{W\ell }{16}{x}^2-\frac{W}{12}{x}^3$$

中点Cの変位 ${\delta }_2$ は，

$$\boxed{{\delta }_2=v_2(\ell /2)=\frac{W{\ell }^3}{192EI}}$$

[2]
1)
薄肉円筒を長手方向に切断した半円筒の力の釣り合いより，

$$2{\sigma }_{\theta }\cdot t\cdot dz=p\cdot 2r\cdot dz$$

薄肉円筒を横方向に切断した端部の力の釣り合い（閉端と仮定）より，

$${\sigma }_z\cdot 2\pi rt=p\cdot \pi r^2$$

これらを解いて，

$$\boxed{\begin{array}{rl}{\sigma }_{\theta }& =\frac{pr}{t}\\ {\sigma }_z& =\frac{pr}{2t}\end{array}}$$

平面応力状態における一般化フックの法則より，

$$\boxed{\begin{array}{rl}{\epsilon }_{\theta }& =\frac{1}{E}({\sigma }_{\theta }-\nu {\sigma }_z)=\frac{pr}{2Et}(2-\nu )\\ {\epsilon }_z& =\frac{1}{E}({\sigma }_z-\nu {\sigma }_{\theta })=\frac{pr}{2Et}(1-2\nu )\end{array}}$$

トルク $T$ によるせん断応力 $\tau$ はブレドの公式（または薄肉円管のねじりの式）より，

$$\tau =\frac{T}{2\pi r^{2}t}$$

主応力 ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ は，

$${\sigma }_{1,2}=\frac{{\sigma }_{\theta }+{\sigma }_z}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_{\theta }-{\sigma }_z}{2}\right)}^2+{\tau }^2}$$

代入して整理すると，主応力は，

$$\boxed{{\sigma }_{1,2}=\frac{3pr}{4t}\pm \sqrt{{\left(\frac{pr}{4t}\right)}^2+{\left(\frac{T}{2\pi r^{2}t}\right)}^2}}$$

円周方向（$\theta$方向，図中の $y$ 軸方向）を基準とし，主応力 ${\sigma }_1$ の方向がなす角を $\alpha$ とすると，主方向は次式で表される。

$$\boxed{\tan 2\alpha =\frac{2\tau }{{\sigma }_{\theta }-{\sigma }_z}=\frac{2T}{\pi p{r}^3}}$$

---

这道题目主要考察了材料力学中梁的弯曲变形计算以及薄壁压力容器的应力状态分析。

在第一部分的梁变形计算中，题干分别给出了简支梁和两端固定梁受跨中集中力作用的模型。求解该问题的核心在于建立正确的弯矩方程，并结合挠曲线近似微分方程进行两次积分。在确定积分常数时，需利用边界条件和对称条件。简支梁在端点的挠度为零，跨中由于对称性转角为零；固定梁在端点的挠度和转角均为零。由于题目要求不能省略计算过程，采用微分方程积分法展示完整的求解脉络是相对严谨的做法。

第二部分是关于受内压薄壁圆筒和扭矩共同作用下的组合变形问题。首先要基于受力平衡求出周向应力和轴向应力，这里隐含了圆筒是两端封闭的假设，否则轴向受力会不平衡而无法产生图中所示的拉应力。求得应力分量后，直接应用平面应力状态的广义胡克定律即可得出主方向的应变。对于带有外加扭矩的情况，需要运用薄壁管抗扭公式求出由于扭转产生的切应力，将其与前两项正应力一起代入主应力和主方向的经典计算公式，最终利用解析法写出含有内压和扭矩参数的数学表达式即可。