0313-2019 名情复 机械 P402

力学 质点系力学 柯尼希定理 守恒定律

3次元空間中の $N$ 個の質点からなる系を考え，$i$ 番目 ($i=1,\dots ,N$) の質点の質量を $m_i$，位置ベクトルを ${\mathbf{r}}_i$，運動量ベクトルを ${\mathbf{p}}_i=m_i{\dot{\mathbf{r}}}_i$ とする。質点 $i$ と質点 $j$ の二体相互作用ポテンシャル $U_{ij}$ は $U_{ij}=-G\frac{m_i{m}_j}{|{\mathbf{r}}_i-{\mathbf{r}}_j|}$ であり，質点系はポテンシャル $U=\sum _{i<j}{U}_{ij}$ のもとで運動している。なお，$G(>0)$ は定数である。また，$\dot{\mathbf{u}}=\frac{d\mathbf{u}}{dt}$ はベクトル $\mathbf{u}$ の時間微分である。さらに，${\mathbf{u}}^2=\mathbf{u}\cdot \mathbf{u}$ であり，ベクトル $\mathbf{u}$ の大きさを $|\mathbf{u}|=\sqrt{{\mathbf{u}}^2}$ とする。そして，$\sum _{i<j}$ は異なる $i,j$ のすべての組についての和を表す。

以下の問に答えよ。

[1] 質点 $j$ が質点 $i$ に及ぼす力 ${\mathbf{f}}_{ij}$ は，${\mathbf{f}}_{ij}=-G{m}_i{m}_j\frac{{\mathbf{r}}_i-{\mathbf{r}}_j}{|{\mathbf{r}}_i-{\mathbf{r}}_j{|}^3}$ と表されることを示せ。

[2] 全運動量 $\mathbf{P}=\sum _{i=1}^N{\mathbf{p}}_i$ が保存されることを示せ。

[3] 全角運動量 $\mathbf{L}=\sum _{i=1}^N({\mathbf{r}}_i\times {\mathbf{p}}_i)$ が保存されることを示せ。

$M=\sum _{i=1}^N{m}_i$ として，$N$ 個の質点の重心の位置ベクトルは $\mathbf{R}=\frac{1}{M}\sum _{i=1}^N{m}_i{\mathbf{r}}_i$ で定義される。また，重心に対する（重心座標系での）各質点の位置を ${\tilde{\mathbf{r}}}_i={\mathbf{r}}_i-\mathbf{R}$ とする。

[4] 重心の運動量を ${\mathbf{P}}_G=M\dot{\mathbf{R}}$ とすると，$\mathbf{P}={\mathbf{P}}_G$ が成立することを示せ。

[5] 重心の角運動量 ${\mathbf{L}}_G=\mathbf{R}\times M\dot{\mathbf{R}}$ と，重心座標系での角運動量 $\tilde{\mathbf{L}}=\sum _{i=1}^N({\tilde{\mathbf{r}}}_i\times m_i{\dot{\tilde{\mathbf{r}}}}_i)$ により，$\mathbf{L}={\mathbf{L}}_G+\tilde{\mathbf{L}}$ が成立することを示せ。

[6] 全運動エネルギーを $T$ とする。重心の運動エネルギー $T_G=\frac{1}{2}M{\dot{\mathbf{R}}}^2$ と，重心座標系での運動エネルギー $\tilde{T}=\sum _{i=1}^N\frac{1}{2}{m}_i{\dot{\tilde{\mathbf{r}}}}_i^2$ により，$T=T_G+\tilde{T}$ が成立することを示せ。

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解答：

[1]

$${\mathbf{f}}_{ij}=-{\nabla }_i{U}_{ij}=-{\nabla }_i\left(-G\frac{m_i{m}_j}{|{\mathbf{r}}_i-{\mathbf{r}}_j|}\right)$$ $${\nabla }_i|{\mathbf{r}}_i-{\mathbf{r}}_j{|}^{-1}=-|{\mathbf{r}}_i-{\mathbf{r}}_j{|}^{-2}{\nabla }_i|{\mathbf{r}}_i-{\mathbf{r}}_j|=-|{\mathbf{r}}_i-{\mathbf{r}}_j{|}^{-2}\frac{{\mathbf{r}}_i-{\mathbf{r}}_j}{|{\mathbf{r}}_i-{\mathbf{r}}_j|}=-\frac{{\mathbf{r}}_i-{\mathbf{r}}_j}{|{\mathbf{r}}_i-{\mathbf{r}}_j{|}^3}$$ $${\mathbf{f}}_{ij}=-G{m}_i{m}_j\frac{{\mathbf{r}}_i-{\mathbf{r}}_j}{|{\mathbf{r}}_i-{\mathbf{r}}_j{|}^3}$$

(証明終)

[2]

$$\frac{d\mathbf{P}}{dt}=\sum _{i=1}^N{\dot{\mathbf{p}}}_i=\sum _{i=1}^N\sum _{j\ne i}{\mathbf{f}}_{ij}=\sum _{i<j}({\mathbf{f}}_{ij}+{\mathbf{f}}_{ji})$$ $${\mathbf{f}}_{ji}=-G{m}_j{m}_i\frac{{\mathbf{r}}_j-{\mathbf{r}}_i}{|{\mathbf{r}}_j-{\mathbf{r}}_i{|}^3}=-{\mathbf{f}}_{ij}$$ $${\mathbf{f}}_{ij}+{\mathbf{f}}_{ji}=0⟹\frac{d\mathbf{P}}{dt}=0$$

(証明終)

[3]

$$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\sum _{i=1}^N({\dot{\mathbf{r}}}_i\times {\mathbf{p}}_i+{\mathbf{r}}_i\times {\dot{\mathbf{p}}}_i)$$ $${\dot{\mathbf{r}}}_i\times {\mathbf{p}}_i={\dot{\mathbf{r}}}_i\times m_i{\dot{\mathbf{r}}}_i=0$$ $$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\sum _{i=1}^N\left({\mathbf{r}}_i\times \sum _{j\ne i}{\mathbf{f}}_{ij}\right)=\sum _{i<j}({\mathbf{r}}_i\times {\mathbf{f}}_{ij}+{\mathbf{r}}_j\times {\mathbf{f}}_{ji})=\sum _{i<j}({\mathbf{r}}_i-{\mathbf{r}}_j)\times {\mathbf{f}}_{ij}$$

${\mathbf{f}}_{ij}$ と ${\mathbf{r}}_i-{\mathbf{r}}_j$ は平行であるため、外積は $0$ となる。

$$\frac{d\mathbf{L}}{dt}=0$$

(証明終)

[4]

$$\mathbf{P}=\sum _{i=1}^N{\mathbf{p}}_i=\sum _{i=1}^N{m}_i{\dot{\mathbf{r}}}_i=\frac{d}{dt}\sum _{i=1}^N{m}_i{\mathbf{r}}_i$$ $$\sum _{i=1}^N{m}_i{\mathbf{r}}_i=M\mathbf{R}$$ $$\mathbf{P}=\frac{d}{dt}(M\mathbf{R})=M\dot{\mathbf{R}}={\mathbf{P}}_G$$

(証明終)

[5]

$${\mathbf{r}}_i=\mathbf{R}+{\tilde{\mathbf{r}}}_i⟹{\dot{\mathbf{r}}}_i=\dot{\mathbf{R}}+{\dot{\tilde{\mathbf{r}}}}_i$$

重心の定義より

$$\sum _{i=1}^N{m}_i{\tilde{\mathbf{r}}}_i=\sum _{i=1}^N{m}_i({\mathbf{r}}_i-\mathbf{R})=M\mathbf{R}-M\mathbf{R}=0⟹\sum _{i=1}^N{m}_i{\dot{\tilde{\mathbf{r}}}}_i=0$$ $$\begin{array}{rl}\mathbf{L}& =\sum _{i=1}^N(\mathbf{R}+{\tilde{\mathbf{r}}}_i)\times m_i(\dot{\mathbf{R}}+{\dot{\tilde{\mathbf{r}}}}_i)\\ & =\sum _{i=1}^N{m}_i(\mathbf{R}\times \dot{\mathbf{R}})+\mathbf{R}\times \sum _{i=1}^N{m}_i{\dot{\tilde{\mathbf{r}}}}_i+\left(\sum _{i=1}^N{m}_i{\tilde{\mathbf{r}}}_i\right)\times \dot{\mathbf{R}}+\sum _{i=1}^N({\tilde{\mathbf{r}}}_i\times m_i{\dot{\tilde{\mathbf{r}}}}_i)\\ & =M(\mathbf{R}\times \dot{\mathbf{R}})+0+0+\tilde{\mathbf{L}}\\ & =\mathbf{R}\times M\dot{\mathbf{R}}+\tilde{\mathbf{L}}\\ & ={\mathbf{L}}_G+\tilde{\mathbf{L}}\end{array}$$

(証明終)

[6]

$$\begin{array}{rl}T& =\sum _{i=1}^N\frac{1}{2}{m}_i{\dot{\mathbf{r}}}_i^2=\sum _{i=1}^N\frac{1}{2}{m}_i(\dot{\mathbf{R}}+{\dot{\tilde{\mathbf{r}}}}_i{)}^2\\ & =\sum _{i=1}^N\frac{1}{2}{m}_i{\dot{\mathbf{R}}}^2+\dot{\mathbf{R}}\cdot \sum _{i=1}^N{m}_i{\dot{\tilde{\mathbf{r}}}}_i+\sum _{i=1}^N\frac{1}{2}{m}_i{\dot{\tilde{\mathbf{r}}}}_i^2\\ & =\frac{1}{2}M{\dot{\mathbf{R}}}^2+0+\tilde{T}\\ & =T_G+\tilde{T}\end{array}$$

(証明終)

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这道题目系统地推导了质点系力学中的几个核心守恒定律以及柯尼希定理。首先通过势能的梯度求得万有引力形式的相互作用力，然后利用牛顿第三定律证明了系统由于内部作用力的抵消而具备总动量和总角动量守恒的性质。在后半部分，将质点系的运动严谨地分解为质心随整个系统平移的整体运动，以及各质点相对质心的内部运动。通过重心的定义，消去了交叉项，从而证明了总动量等于质心动量，同时总角动量和总动能都可以纯粹地叠加为质心对应量与相对质心对应量之和，这一动能的分解形式正是经典的柯尼希定理，在处理天体物理多星系统和刚体动力学时有着重要的基础作用。