0311-2019 名情复 数学 P400

线性代数 二次型 空间解析几何

[1] 2次方程式

$$g(\mathbf{x})=3x_1^2+4x_1{x}_2+3x_2^2=1$$

を満たす2次元ベクトル $\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$ について，次の小問に答えよ。

1. この2次方程式をベクトル $\mathbf{x}$ と適当な対称行列を用いて書き換えよ。

2. $\mathbf{x}$ に適当な正規直交変換を施して $g(\mathbf{x})$ を対角行列を用いた式に書き換えよ。

3. この2次方程式を満たす点全体の集合を $(x_1,x_2)$ 座標系で図示せよ。

4. $\mathbf{x}$ がこの2次方程式を満たすとき，関数

$$f(\mathbf{x})=x_1^2+x_2^2$$

の最大値と最小値を求めよ。また，最大値と最小値をとるときのそれぞれの $(x_1,x_2)$ を求めよ。

[2] 3次元ベクトル空間から2次元ベクトル空間への写像

$$p:\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{c}{x}_1+x_2+x_3\\ x_1+2x_2-x_3\end{array}\right)$$

について，次の小問に答えよ。

1. $p$ が線形写像であることを示せ。

2. $p=0$ を満たす3次元ベクトル全体の集合 $V$ を求めよ。

3. $V$ のすべての要素と直交し，$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$ を通る平面の方程式を示せ。

4. この平面と原点 $\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\end{array}\right)$ との距離を求めよ。

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解答：

[1]
1)
与えられた2次形式の係数から対称行列を構成すると、

$$\boxed{{\mathbf{x}}^T\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 3\end{array}\right)\mathbf{x}=1}$$

対称行列 $A=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 2& 3\end{array}\right)$ の固有値方程式は、

$$|A-\lambda I|=\left|\begin{array}{cc}3-\lambda & 2\\ 2& 3-\lambda \end{array}\right|=(3-\lambda {)}^2-4=(\lambda -5)(\lambda -1)=0$$

より固有値は $\lambda =5,1$ である。
$\lambda =5$ に対応する規格化された固有ベクトルは ${\mathbf{v}}_1=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$、
$\lambda =1$ に対応する規格化された固有ベクトルは ${\mathbf{v}}_2=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$ である。
直交行列 $P=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$ を用いて $\mathbf{x}=P\mathbf{y}$ （ただし $\mathbf{y}=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right)$）と変数変換すると、$P^{T}AP=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ となるため、

$$\boxed{{\mathbf{y}}^T\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\mathbf{y}=1\left(ただし、\mathbf{x}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)\mathbf{y}\right)}$$

図示の代わりにグラフの形状を詳述する。
集合は原点 $(0,0)$ を中心とする楕円である。
2)の結果より、標準形は $5y_1^2+y_2^2=1$ となる。
これは長軸が ${\mathbf{v}}_2$ 方向（直線 $x_2=-x_1$）、短軸が ${\mathbf{v}}_1$ 方向（直線 $x_2=x_1$）にある楕円を表す。
長軸の頂点は $\pm {\mathbf{v}}_2=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right),\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ であり、
短軸の頂点は $\pm \frac{1}{\sqrt{5}}{\mathbf{v}}_1=\left(\frac{1}{\sqrt{10}},\frac{1}{\sqrt{10}}\right),\left(-\frac{1}{\sqrt{10}},-\frac{1}{\sqrt{10}}\right)$ である。

$f(\mathbf{x})=x_1^2+x_2^2={\mathbf{x}}^T\mathbf{x}$。
直交変換 $\mathbf{x}=P\mathbf{y}$ を用いると、$P^{T}P=I$ であるため、
$f(\mathbf{x})=(P\mathbf{y}{)}^T(P\mathbf{y})={\mathbf{y}}^T{P}^{T}P\mathbf{y}={\mathbf{y}}^T\mathbf{y}=y_1^2+y_2^2$。
制約条件 $5y_1^2+y_2^2=1$ より $y_2^2=1-5y_1^2$ である。$y_2^2\ge 0$ より $0\le y_1^2\le \frac{1}{5}$ となる。
代入すると $f(\mathbf{x})=y_1^2+(1-5y_1^2)=1-4y_1^2$。
したがって、$y_1=0$ のとき最大となり、$y_1=\pm \frac{1}{\sqrt{5}}$ のとき最小となる。
最大値をとるときの $\mathbf{y}$ は $\left(\begin{array}{c}0\\ \pm 1\end{array}\right)$ であり、$\mathbf{x}=P\mathbf{y}=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$。
最小値をとるときの $\mathbf{y}$ は $\left(\begin{array}{c}\pm \frac{1}{\sqrt{5}}\\ 0\end{array}\right)$ であり、$\mathbf{x}=P\mathbf{y}=\pm \frac{1}{\sqrt{10}}\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$。

$$\boxed{\begin{array}{rl}& \text{最大値: }1,(x_1,x_2)=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right),\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\\ & \text{最小値: }\frac{1}{5},(x_1,x_2)=\left(\frac{1}{\sqrt{10}},\frac{1}{\sqrt{10}}\right),\left(-\frac{1}{\sqrt{10}},-\frac{1}{\sqrt{10}}\right)\end{array}}$$

[2]
1)
$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 2& -1\end{array}\right)$ とおくと、$p(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ と表せる。
任意の3次元ベクトル $\mathbf{x},\mathbf{y}$ と任意のスカラー $c$ について、行列の演算規則から

$$\begin{array}{rl}p(c\mathbf{x}+\mathbf{y})& =A(c\mathbf{x}+\mathbf{y})\\ & =cA\mathbf{x}+A\mathbf{y}\\ & =cp(\mathbf{x})+p(\mathbf{y})\end{array}$$

が成り立つ。したがって、$p$ は線形写像である。(証明終)

$p(\mathbf{x})=0$ より $A\mathbf{x}=0$。連立方程式で表すと、

$$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=0\\ x_1+2x_2-x_3=0\end{array}$$

第2式から第1式を引くと $x_2-2x_3=0\Rightarrow x_2=2x_3$。
これを第1式に代入すると $x_1+2x_3+x_3=0\Rightarrow x_1=-3x_3$。
したがって、解は $\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=c\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ （$c$ は任意の実数）と表される。

$$\boxed{V=\left\{c\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 1\end{array}\right)|c\in \mathbb{R}\right\}}$$

$V$ は直線であり、その方向ベクトル $\mathbf{n}=\left(\begin{array}{c}-3\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ は求める平面の法線ベクトルとなる。
この平面が点 $(1,2,3{)}^T$ を通るので、平面の方程式は

$$-3(x_1-1)+2(x_2-2)+1(x_3-3)=0$$

展開して整理すると、

$$\boxed{3x_1-2x_2-x_3+4=0}$$

平面 $3x_1-2x_2-x_3+4=0$ と原点 $(0,0,0{)}^T$ との距離 $d$ は、点と平面の距離の公式より

$$\boxed{d=\frac{|3\cdot 0-2\cdot 0-1\cdot 0+4|}{\sqrt{3^2+(-2{)}^2+(-1{)}^2}}=\frac{4}{\sqrt{9+4+1}}=\frac{4}{\sqrt{14}}=\frac{2\sqrt{14}}{7}}$$

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本题第一部分考察了二次型的标准化。通过求出二次型对应实对称矩阵的特征值和特征向量，可以构造正交矩阵将其化为标准型。化为标准型后的形式是一个椭圆的方程，特征值的倒数平方根即为椭圆半轴的长度，而特征向量的方向给出了椭圆主轴的方向。在求向量长度平方的最值时，由于正交变换不改变向量的模长，直接在新的正交坐标系下通过代入约束条件化为单变量的最值问题即可轻松求解。

第二部分考察了线性映射的核（零空间）以及空间解析几何中的平面方程。判定映射的线性性质只需证明其满足可加性和齐次性。映射为零向量的集合即为齐次线性方程组的解空间，解出基础解系即得到了集合的表达。要求与该子空间正交的平面，说明其法向量与解空间的基向量平行，再结合平面的点法式方程以及点到平面的距离公式即可完成计算。