0310-2018 名情复 机械 P398

控制学 传递函数 系统稳定性 稳态误差 相位超前校正

時間関数 $f(t)$ をラプラス変換した関数を $F(s)$ のように書くことにする。

[1] 図 1 に示すフィードバック制御系について，以下の問に答えよ。ただし，図中の $K$ は非負の実数である。

1. 一巡伝達関数（開ループ伝達関数）$L(s)$ を求めよ。
2. 入力 $R(s)$ から出力 $Y(s)$ までの閉ループ伝達関数 $G(s)=Y(s)/R(s)$ を求めよ。
3. 系が安定，安定限界，あるいは不安定となる場合について，それぞれの $K$ の値の範囲を示せ。
4. ステップ応答が振動的である場合と振動的でない場合について，それぞれの $K$ の値の範囲を示せ。
5. 単位ランプ入力のときの定常偏差と $K$ の値との関係を示せ。
   

[2] 制御対象 $P(s)=\frac{5\sqrt{7}}{s(s+\sqrt{3})}$ に対して，補償器 $C(s)=\frac{bs+1}{as+1}$ を直列接続し，図2に示すフィードバック制御系を構成した。この系について，以下の問に答えよ。ただし，$a$ と $b$ は正の実数である。

1. $C(s)$ を位相進み補償要素とする場合について，$a$ と $b$ の大小関係，および位相進み角が最大となるときの角周波数 ${\omega }_m$ を示せ。
2. 位相進み補償をした後のゲイン交差周波数を ${\omega }_G$ とし，${\omega }_G={\omega }_m=5\text{ rad/s}$ となるときの $a$ と $b$ の値を求めよ。
   

（参考）逆三角関数の一階微分
$\frac{d{\sin }^{-1}x}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\frac{d{\cos }^{-1}x}{dx}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\frac{d{\tan }^{-1}x}{dx}=\frac{1}{1+x^2}$

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解答：

[1]
1)
前向き要素の伝達関数を $G_1(s)$，フィードバック要素の伝達関数を $H_1(s)$ とすると，内側のループの伝達関数 $G_{inner}(s)$ は，

$$G_{inner}(s)=\frac{\frac{2}{s}}{1+\frac{2}{s}K}=\frac{2}{s+2K}$$

したがって，一巡伝達関数 $L(s)$ は，

$$\boxed{L(s)=8\cdot G_{inner}(s)\cdot \frac{1}{s}=\frac{16}{s(s+2K)}}$$

閉ループ伝達関数 $G(s)$ は，

$$\boxed{G(s)=\frac{L(s)}{1+L(s)}=\frac{\frac{16}{s(s+2K)}}{1+\frac{16}{s(s+2K)}}=\frac{16}{s^2+2Ks+16}}$$

特性方程式は，

$$s^2+2Ks+16=0$$

フルビッツの安定判別法より，系が安定となる条件は係数がすべて正であることなので，$K>0$。
安定限界となるのは $s^2+16=0$ のときであり，$K=0$。
不安定となるのは $K<0$ のときであるが，題意より $K\ge 0$ であるため不安定となる $K$ の範囲は存在しない。

$$\boxed{\begin{array}{rl}& \text{安定: }K>0\\ & \text{安定限界: }K=0\\ & \text{不安定: 該当なし}\end{array}}$$

特性方程式の判別式 $D$ は，

$$D/4=K^2-16=(K+4)(K-4)$$

ステップ応答が振動的となるのは根が複素数となる場合であり，$D<0$ のとき。

$$K^2-16<0⟹0\le K<4(\because K\ge 0)$$

ステップ応答が振動的でないのは根が実数となる場合であり，$D\ge 0$ のとき。

$$K^2-16\ge 0⟹K\ge 4(\because K\ge 0)$$ $$\boxed{\begin{array}{rl}& \text{振動的: }0\le K<4\\ & \text{非振動的: }K\ge 4\end{array}}$$

単位ランプ入力 $R(s)=\frac{1}{s^2}$ のとき，定常位置偏差定数 $K_v$ は，

$$K_v=\underset{s\to 0}{\lim }sL(s)=\underset{s\to 0}{\lim }s\frac{16}{s(s+2K)}=\frac{16}{2K}=\frac{8}{K}$$

定常偏差 $e_{ss}$ は，

$$\boxed{e_{ss}=\frac{1}{K_v}=\frac{K}{8}}$$

[2]
1)
$C(s)$ が位相進み補償器であるための条件は，零点が極より原点に近いことである。極は $-1/a$，零点は $-1/b$ であるから，

$$-\frac{1}{b}>-\frac{1}{a}⟹a>b>0$$

$C(j\omega )=\frac{1+jb\omega }{1+ja\omega }$ の位相角 ${\varphi }_c(\omega )$ は，

$${\varphi }_c(\omega )={\tan }^{-1}(b\omega )-{\tan }^{-1}(a\omega )$$

${\varphi }_c(\omega )$ を $\omega$ で微分して0とおく。

$$\frac{d{\varphi }_c}{d\omega }=\frac{b}{1+(b\omega {)}^2}-\frac{a}{1+(a\omega {)}^2}=0$$ $$b(1+a^2{\omega }^2)=a(1+b^2{\omega }^2)$$ $$b-a=ab{\omega }^2(b-a)$$

$a\ne b$ より，

$${\omega }^2=\frac{1}{ab}⟹{\omega }_m=\frac{1}{\sqrt{ab}}$$ $$\boxed{\begin{array}{rl}& a>b\\ & {\omega }_m=\frac{1}{\sqrt{ab}}\end{array}}$$

${\omega }_G=5$ のとき，$|C(j{\omega }_G)P(j{\omega }_G)|=1$ かつ ${\omega }_m={\omega }_G=5$。

$${\omega }_m=\frac{1}{\sqrt{ab}}=5⟹ab=\frac{1}{25}$$ $$|C(j{\omega }_m)|=\sqrt{\frac{1+b^2{\omega }_m^2}{1+a^2{\omega }_m^2}}=\sqrt{\frac{1+b^2\cdot \frac{1}{ab}}{1+a^2\cdot \frac{1}{ab}}}=\sqrt{\frac{1+\frac{b}{a}}{1+\frac{a}{b}}}=\sqrt{\frac{\frac{a+b}{a}}{\frac{a+b}{b}}}=\sqrt{\frac{b}{a}}$$ $$|P(j{\omega }_G)|=\frac{5\sqrt{7}}{{\omega }_G\sqrt{{\omega }_G^2+3}}=\frac{5\sqrt{7}}{5\sqrt{25+3}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{28}}=\frac{1}{2}$$ $$|C(j{\omega }_G)P(j{\omega }_G)|=\sqrt{\frac{b}{a}}\cdot \frac{1}{2}=1⟹\frac{b}{a}=4⟹b=4a$$

$a>b$ の条件と矛盾するため，位相角の定義を見直す。
$C(s)=\frac{bs+1}{as+1}$ において，$s=j\omega$ とすると，

$$C(j\omega )=\frac{1+jb\omega }{1+ja\omega }$$

位相進みとするには $\angle C(j\omega )>0$ である必要があり，

$$\angle (1+jb\omega )-\angle (1+ja\omega )>0⟹b\omega >a\omega ⟹b>a$$

1. の解答を訂正し，$b>a$ とする。
   再び，$b=4a$ と $ab=1/25$ より，

$$a(4a)=\frac{1}{25}⟹4a^2=\frac{1}{25}⟹a^2=\frac{1}{100}$$

$a>0$ より，$a=1/10=0.1$。
$b=4(0.1)=0.4$。
これは $b>a$ を満たす。

$$\boxed{a=0.1,b=0.4}$$

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这道控制理论题目包含了系统传递函数的推导、稳定性分析、瞬态响应特性、稳态误差计算以及频域补偿器设计等核心考点。第一部分通过方框图化简求取开环和闭环传递函数，然后利用劳斯-赫尔维茨判据确定系统的稳定性条件。系统阻尼比由特征方程的二阶项系数决定，据此可以判断阶跃响应是否具有振荡特性。利用静态速度误差系数可以求解单位斜坡输入的稳态误差。第二部分涉及相位超前校正器的设计。首先需要明确相位超前校正器的零极点分布规律，即零点应靠近原点，从而推导出参数 $a$ 和 $b$ 的大小关系。利用相频特性的求导可以找出最大相位超前角对应的频率 ${\omega }_m$。最后，根据幅值穿越频率处的幅值条件 $|C(j{\omega }_G)P(j{\omega }_G)|=1$ 以及给定的频率值，联立方程即可解得校正器的参数 $a$ 和 $b$。在求解过程中需要注意验证所得参数是否满足超前校正的前提条件。