0309-2018 名情复 机械 P397

流体力学 浮力 伯努利方程

[1] 図1のように，密度${\rho }_a$の液体aと密度${\rho }_b$の液体bが鉛直方向に分離して層を成し，その境界を挟んで円筒体（断面積$A$，高さ$h_0$，密度${\rho }_0$）が静止している。ただし，${\rho }_a<{\rho }_0<{\rho }_b$であり，円筒体の中心線は鉛直である。円筒体底面から境界までの高さ$h_2$を求めなさい。なお，液体aの厚さを$h_1$とし，$h_1\ge h_0$とする。重力加速度を$g$とする。

[2] 図2のように，水平な円管の内部を水が流れており，2本の細管が取り付けられている。細管1は管壁に垂直に接続され，細管2は先端が水平方向に向けられ管中心に設置されている。円管内の水は，細管の内部を自由に上昇できる。細管1および2の水面の高さがそれぞれ$h_1$および$h_2$のとき，円管の中心速度$V$を求めなさい。ただし，$h_2\ge h_1$とし，重力加速度を$g$とする。

[3] 以下の用語について，それぞれ150字以内で説明せよ。ただし，数式や図を併用してもよい。

1. 連続の方程式
2. 物体の抗力係数
3. キャビテーション

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解答：

[1]
円筒体に働く力のつり合いより

$${\rho }_{0}gA{h}_0={\rho }_{a}gA(h_0-h_2)+{\rho }_{b}gA{h}_2$$ $${\rho }_0{h}_0={\rho }_a{h}_0-{\rho }_a{h}_2+{\rho }_b{h}_2$$ $$({\rho }_b-{\rho }_a)h_2=({\rho }_0-{\rho }_a)h_0$$ $$\boxed{h_2=\frac{{\rho }_0-{\rho }_a}{{\rho }_b-{\rho }_a}{h}_0}$$

[2]
ベルヌーイの定理より

$$\frac{p_1}{\rho }+\frac{V_1^2}{2}+g{z}_1=\frac{p_2}{\rho }+\frac{V_2^2}{2}+g{z}_2$$

細管1の位置（静圧）を1，細管2の先端位置（よどみ点）を2とすると

$$z_1=z_2,V_1=V,V_2=0$$ $$p_1=\rho g{h}_1,p_2=\rho g{h}_2$$

これらを代入して

$$g{h}_1+\frac{V^2}{2}=g{h}_2$$ $$\frac{V^2}{2}=g(h_2-h_1)$$ $$\boxed{V=\sqrt{2g(h_2-h_1)}}$$

[3]
1)
質量保存の法則を流体に適用した方程式である。検査体積に出入りする流体の質量の差が、検査体積内の流体の質量変化に等しいことを表す。定常かつ非圧縮性流体の場合、管の断面積$A$、流速$v$とすると、$Av=\text{const.}$ となる。

流体中を運動する物体が受ける抗力（流体抵抗）の大きさを無次元化した係数である。抗力を$D$、流体の密度を$\rho$、流速を$U$、物体の代表面積を$A$とすると、抗力係数$C_D$は$C_D=\frac{D}{\frac{1}{2}\rho U^{2}A}$で定義される。物体の形状やレイノルズ数などに依存する。

流体の局所的な圧力がその温度における飽和蒸気圧よりも低くなったときに、流体中に蒸気の気泡（空洞）が発生する現象である。ポンプや水車などで発生すると、気泡が崩壊する際の衝撃圧により騒音や振動、部材の壊食（エロージョン）を引き起こし、性能低下の原因となる。

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第一题考查阿基米德原理和受力平衡。圆柱体静止在两种液体的交界面处，受到的重力应与排开两种液体的浮力之和相平衡。分别写出圆柱体在液体a和液体b中的体积，利用浮力公式即可列出平衡方程求解。

第二题考查伯努利方程和皮托管原理。细管1测量的是静压，对应水柱高度为$h_1$；细管2的尖端正对水流，水流在此处滞止，速度变为零，因此细管2测量的是总压（滞止压力），对应水柱高度为$h_2$。在圆管中心线上取静压测点和滞止点列伯努利方程，即可求出流速。这就是皮托管测量流速的基本原理。

第三题考查流体力学基本概念。连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的表达，对于不可压缩流体，流速与流管截面积成反比。阻力系数是描述物体在流体中受阻力大小的无量纲量，与物体的形状、迎风面积及流动状态（雷诺数）密切相关。空化现象（气蚀）是指流体局部压力降至饱和蒸汽压以下时产生气泡的现象，这些气泡在压力升高的区域溃灭会产生强烈的微射流和冲击波，对水力机械的叶片等部件造成严重的破坏。