0306-2018 名情复 机械 P372

力学 拉格朗日力学

図のように，軸が鉛直で頂点が下に向いている円錐面上を，鉛直下向きの一様重力中（重力加速度 $g$）で運動する質量 $m$ の質点について考えよう。ただし，円錐の半頂角は定数 $\alpha$ で，円錐面は十分なめらかであるとする。円錐の軸は $z$ 軸であり，水平面上に $x$，$y$ 軸をとる。質点の位置を極座標 $(r,\alpha ,\varphi )$ で表し，以下の問に答えよ。必要なら，ベクトル $\vec{A}=(A_x,A_y,A_z)$ と $\vec{B}=(B_x,B_y,B_z)$ の外積についての以下の関係式を用いてよい。

$$\vec{A}\times \vec{B}=(A_y{B}_z-A_z{B}_y,A_z{B}_x-A_x{B}_z,A_x{B}_y-A_y{B}_x)$$

[1] 質点の運動エネルギー $K(r,\dot{r},\varphi ,\dot{\varphi })$ を書き下せ。なお，$\dot{r}=\frac{dr}{dt}$，$\dot{\varphi }=\frac{d\varphi }{dt}$ は時間 $t$ についての微分である。

[2] 原点 O を基準として，質点の位置エネルギー $U(r)$ を書き下せ。

[3] ラグランジアン $L(r,\dot{r},\varphi ,\dot{\varphi })$ を書き下せ。

[4] $r$ についてのオイラー・ラグランジュ方程式を求めよ。

[5] 質点の角運動量の $z$ 成分 $l_z$ を求めよ。

[6] $\varphi$ についてのオイラー・ラグランジュ方程式から，$l_z$ は保存されることを示せ。

[7] $r=r_0$ の位置から，円錐の壁に沿って水平方向に速さ $v_0$ で質点を打ち出したところ，質点は $r=r_0$ を保ちながら円運動を行った。$v_0$ を求めよ。

[8] $r=r_0$ の位置から，円錐の壁に沿って水平方向に速さ $v_1(<v_0)$ で質点を打ち出したところ，質点は円錐面に沿って回転しながら，$r=r_1$ の位置まで下がり，再び $r=r_0$ の位置まで上昇する運動を繰り返した。$r_1$ を求めよ。

[9] 質点は $r=r_0$ のまわりでわずかに上下に振動しながら回転運動を続けているとする。$\left|\frac{\rho }{r_0}\right|\ll 1$ として $r=r_0+\rho$ とおき，$\rho$ の時間変化を考えることにより，この運動を考察しよう。

1. 問題 [4], [6] の結果を用いて，$\dot{\varphi }$ を消去して $r$ のみについての微分方程式を導け。
2. $\frac{1}{r^3}$ を $\rho$ の 1 次の項まで展開せよ。
3. $\rho$ についての微分方程式を導き，それが調和振動子の方程式になることを示せ。
4. $\rho$ の振動の周期 $T$ を求めよ。

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解答：

[1]

$$\boxed{K(r,\dot{r},\varphi ,\dot{\varphi })=\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\sin }^2\alpha {\dot{\varphi }}^2)}$$

[2]

$$\boxed{U(r)=mgr\cos \alpha }$$

[3]

$$L=K-U$$ $$\boxed{L(r,\dot{r},\varphi ,\dot{\varphi })=\frac{1}{2}m({\dot{r}}^2+r^2{\sin }^2\alpha {\dot{\varphi }}^2)-mgr\cos \alpha }$$

[4]

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{r}}\right)-\frac{\partial L}{\partial r}=0$$ $$m\ddot{r}-(mr{\sin }^2\alpha {\dot{\varphi }}^2-mg\cos \alpha )=0$$ $$\boxed{m\ddot{r}-mr{\sin }^2\alpha {\dot{\varphi }}^2+mg\cos \alpha =0}$$

[5]

$$l_z=\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi }}$$ $$\boxed{l_z=m{r}^2{\sin }^2\alpha \dot{\varphi }}$$

[6]

$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi }}\right)-\frac{\partial L}{\partial \varphi }=0$$ $$\frac{\partial L}{\partial \varphi }=0$$ $$\frac{d{l}_z}{dt}=0$$

(証明終)

[7]

$$\dot{r}=0,\ddot{r}=0$$ $$m{r}_0{\sin }^2\alpha {\dot{\varphi }}^2=mg\cos \alpha$$ $$v_0=r_0\sin \alpha \dot{\varphi }$$ $$m\frac{v_0^2}{r_0}=mg\cos \alpha$$ $$\boxed{v_0=\sqrt{g{r}_0\cos \alpha }}$$

[8]

$$\begin{array}{rl}E& =\frac{1}{2}m{v}_1^2+mg{r}_0\cos \alpha =\frac{1}{2}m{v}_{\varphi 1}^2+mg{r}_1\cos \alpha \\ l_z& =m{r}_0\sin \alpha v_1=m{r}_1\sin \alpha v_{\varphi 1}\end{array}$$ $$v_{\varphi 1}=\frac{r_0}{r_1}{v}_1$$ $$\frac{1}{2}m{v}_1^2+mg{r}_0\cos \alpha =\frac{1}{2}m{\left(\frac{r_0}{r_1}{v}_1\right)}^2+mg{r}_1\cos \alpha$$ $$v_1^2\left(1-\frac{r_0^2}{r_1^2}\right)=2g\cos \alpha (r_1-r_0)$$ $$v_1^2\frac{(r_1-r_0)(r_1+r_0)}{r_1^2}=2g\cos \alpha (r_1-r_0)$$ $$r_1\ne r_0⟹v_1^2(r_1+r_0)=2g\cos \alpha r_1^2$$ $$2g\cos \alpha r_1^2-v_1^2{r}_1-v_1^2{r}_0=0$$ $$r_1>0⟹\boxed{r_1=\frac{v_1^2+v_1\sqrt{v_1^2+8g{r}_0\cos \alpha }}{4g\cos \alpha }}$$

[9]
1)

$$\dot{\varphi }=\frac{l_z}{m{r}^2{\sin }^2\alpha }$$ $$m\ddot{r}-mr{\sin }^2\alpha {\left(\frac{l_z}{m{r}^2{\sin }^2\alpha }\right)}^2+mg\cos \alpha =0$$ $$\boxed{m\ddot{r}-\frac{l_z^2}{m{r}^3{\sin }^2\alpha }+mg\cos \alpha =0}$$

$$\frac{1}{r^3}=\frac{1}{(r_0+\rho {)}^3}=\frac{1}{r_0^3}{\left(1+\frac{\rho }{r_0}\right)}^{-3}$$ $$\boxed{\frac{1}{r^3}\approx \frac{1}{r_0^3}\left(1-3\frac{\rho }{r_0}\right)}$$

$$r=r_0+\rho ,\ddot{r}=\ddot{\rho }$$ $$m\ddot{\rho }-\frac{l_z^2}{m{r}_0^3{\sin }^2\alpha }\left(1-3\frac{\rho }{r_0}\right)+mg\cos \alpha =0$$ $$\rho =0,\ddot{\rho }=0⟹-\frac{l_z^2}{m{r}_0^3{\sin }^2\alpha }+mg\cos \alpha =0$$ $$m\ddot{\rho }-mg\cos \alpha \left(1-3\frac{\rho }{r_0}\right)+mg\cos \alpha =0$$ $$\ddot{\rho }+\frac{3g\cos \alpha }{r_0}\rho =0$$

(証明終)

$$\omega =\sqrt{\frac{3g\cos \alpha }{r_0}}$$ $$\boxed{T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{r_0}{3g\cos \alpha }}}$$

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本题主要考察拉格朗日力学在约束系统中的应用。首先需要根据几何关系写出系统的动能与势能，进而构建出系统的拉格朗日量。由于中心力场和系统圆锥面的轴对称性质，拉格朗日量不显含方位角，这直接推导出系统关于对称轴的角动量守恒。在分析径向运动时，利用角动量守恒可以将原二维运动问题降维，转化为仅含有径向坐标的一维等效中心力场问题进行求解。对于不在稳定圆轨道上运动的质点，可以通过机械能守恒与角动量守恒联立，计算出质点运动时的上下边界半径。最后在平衡点附近对等效势能所对应的力进行泰勒展开并保留一阶项，能够证明质点在平衡轨道附近做微小的简谐振动并求出振动周期，这种有效势能的展开方法是理论力学中处理复杂受约束轨道微小扰动问题的标准思路。