0305-2018 名情复 数学 P371

常微分方程 傅里叶与拉普拉斯变换 动力系统

[1] 周期 $2\pi$ の偶関数 $f(x)$ のフーリエ級数は以下のように定義される。

$$\begin{array}{rl}f(x)& =\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos (nx)\\ a_n& =\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)\cos (nx)\mathrm{d}x\end{array}$$

1. 関数 $f(x)=x^2(-\pi \le x\le \pi )$ のフーリエ級数を求めよ。
2. 1. で求めたフーリエ級数に $x=\pi$ を代入することにより，以下の無限級数の値を求めよ。

$$I=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$$

[2] 非線形常微分方程式

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}-c{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}^2+g=0(t\ge 0)$$

を考える。ただし，$c$ および $g$ は正定数である。

1. $v(t)\equiv \mathrm{d}y/\mathrm{d}t$ として，$t=0$ のときの条件 $v(0)=0$ のもとで $v(t)$ の微分方程式を解け。$t\to \infty$ での $v(\infty )$ の値を求めよ。
2. $t=0$ のときの条件 $y(0)=h(>0)$ のもとで $y(t)$ の微分方程式を解け。
3. 解 $y(t)$ を $t-y$ 平面上に図示せよ。$t\to \infty$ で解が漸近する直線とその傾き，切片の値も明記せよ。

[3] 非線形力学系

$$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=x(1-x)(1-2x)(t\ge 0)$$

について考える。

1. 系の不動点をすべて求め，それぞれの安定性を調べよ。
2. $0<x(0)<1$ のとき，$t\to \infty$ での $x(\infty )$ の値を理由とともに答えよ。
3. $L(x)=x(1-x)(0<x<1)$ が時間に関する単調増加関数であることを示せ。

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解答：
[1]
1)
定義に従いフーリエ係数 $a_0$ および $a_n$ を求める。

$$\begin{array}{rl}{a}_0& =\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }{x}^2\mathrm{d}x=\frac{2}{\pi }{\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^{\pi }=\frac{2{\pi }^2}{3}\\ a_n& =\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }{x}^2\cos (nx)\mathrm{d}x\\ & =\frac{2}{\pi }\left({\left[x^2\frac{\sin (nx)}{n}\right]}_0^{\pi }-{\int }_0^{\pi }2x\frac{\sin (nx)}{n}\mathrm{d}x\right)\\ & =-\frac{4}{n\pi }\left({\left[-x\frac{\cos (nx)}{n}\right]}_0^{\pi }+{\int }_0^{\pi }\frac{\cos (nx)}{n}\mathrm{d}x\right)\\ & =-\frac{4}{n\pi }\left(-\frac{\pi (-1{)}^n}{n}\right)=\frac{4(-1{)}^n}{n^2}\end{array}$$

したがって，求めるフーリエ級数は

$$\boxed{f(x)=\frac{{\pi }^2}{3}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{4(-1{)}^n}{n^2}\cos (nx)}$$

関数 $f(x)=x^2$ は $x=\pi$ で連続であるため，求めたフーリエ級数に $x=\pi$ を代入すると $f(\pi )={\pi }^2$ となる。$\cos (n\pi )=(-1{)}^n$ より，

$$\begin{array}{rl}{\pi }^2& =\frac{{\pi }^2}{3}+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{4(-1{)}^n}{n^2}(-1{)}^n\\ {\pi }^2& =\frac{{\pi }^2}{3}+4\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}\end{array}$$

ゆえに，

$$4I={\pi }^2-\frac{{\pi }^2}{3}=\frac{2{\pi }^2}{3}$$ $$\boxed{I=\frac{{\pi }^2}{6}}$$

[2]
1)
$v=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ とおくと，与えられた微分方程式は $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=c\left(v^2-\frac{g}{c}\right)$ となる。
$a=\sqrt{\frac{g}{c}}$ とおき，変数分離を行うと，

$$\frac{\mathrm{d}v}{v^2-a^2}=c\mathrm{d}t⟹\frac{1}{2a}\left(\frac{1}{v-a}-\frac{1}{v+a}\right)\mathrm{d}v=c\mathrm{d}t$$

両辺を積分して，

$$\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{v-a}{v+a}\right|=ct+C_1$$

$v(0)=0$ より $C_1=0$。$t\ge 0$ において $v(t)$ は減少するため $v\in (-a,0]$ となり，絶対値の中身は負である。

$$\frac{a-v}{a+v}=e^{2act}⟹v(t)=a\frac{1-e^{2act}}{1+e^{2act}}=-a\tanh (act)$$

よって，

$$\boxed{v(t)=-\sqrt{\frac{g}{c}}\tanh \left(\sqrt{cg}t\right)}$$

$t\to \infty$ のとき $\tanh (\sqrt{cg}t)\to 1$ であるため，

$$\boxed{v(\infty )=-\sqrt{\frac{g}{c}}}$$

$v(t)=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ を積分して $y(t)$ を求める。

$$y(t)=\int -\sqrt{\frac{g}{c}}\tanh \left(\sqrt{cg}t\right)\mathrm{d}t=-\frac{1}{c}\ln \left(\cosh \left(\sqrt{cg}t\right)\right)+C_2$$

初期条件 $y(0)=h$ より，$C_2=h$ となるため，

$$\boxed{y(t)=h-\frac{1}{c}\ln \left(\cosh \left(\sqrt{cg}t\right)\right)}$$

$t\to \infty$ において，$\cosh (\sqrt{cg}t)\simeq \frac{1}{2}{e}^{\sqrt{cg}t}$ と近似できるため，

$$y(t)\simeq h-\frac{1}{c}\ln \left(\frac{1}{2}{e}^{\sqrt{cg}t}\right)=-\sqrt{\frac{g}{c}}t+h+\frac{\ln 2}{c}$$

解の曲線は点 $(0,h)$ から始まり，傾きゼロから次第に減少して上記の直線に漸近する上に凸の単調減少関数となる。（図示省略）

$$\boxed{\begin{array}{rl}\text{漸近直線}& :y=-\sqrt{\frac{g}{c}}t+h+\frac{\ln 2}{c}\\ \text{傾き}& :-\sqrt{\frac{g}{c}}\\ \text{切片}& :h+\frac{\ln 2}{c}\end{array}}$$

[3]
1)
$f(x)=x(1-x)(1-2x)$ とおく。不動点は $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=0$ を満たす点である。

$$x(1-x)(1-2x)=0⟹x=0,\frac{1}{2},1$$

一階導関数は $f^{\prime }(x)=6x^2-6x+1$ であり，各不動点での値を調べると，
$x=0$ において $f^{\prime }(0)=1>0$
$x=\frac{1}{2}$ において $f^{\prime }(1/2)=-\frac{1}{2}<0$
$x=1$ において $f^{\prime }(1)=1>0$
以上より，各不動点の安定性は以下の通りである。

$$\boxed{\begin{array}{rl}x& =0(\text{不安定})\\ x& =\frac{1}{2}(\text{漸近安定})\\ x& =1(\text{不安定})\end{array}}$$

$0<x(0)<1$ のとき，状態空間は不安定な不動点 $x=0$ と $x=1$ に挟まれており，区間内部には漸近安定な不動点 $x=1/2$ のみが存在する。
$0<x<1/2$ の範囲では $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}>0$ となり $x(t)$ は単調に増加する。
$1/2<x<1$ の範囲では $\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}<0$ となり $x(t)$ は単調に減少する。
いずれの場合も，時間が十分に経過すると軌道は安定不動点に収束する。

$$\boxed{x(\infty )=\frac{1}{2}}$$

$L(x)=x(1-x)$ の時間微分を連鎖律を用いて計算する。

$$\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=(1-2x)\cdot x(1-x)(1-2x)=x(1-x)(1-2x{)}^2$$

$0<x<1$ の範囲において，$x(1-x)>0$ であり，かつ任意の実数の平方は非負であるため $(1-2x{)}^2\ge 0$ となる。
したがって，この区間において常に

$$\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}\ge 0$$

が成り立つ。時間に対する導関数が非負であることから，$L(x)$ は時間に関する単調増加関数であることが示された。(証明終)

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这道大题涵盖了傅里叶级数展开非线性常微分方程的求解以及一维非线性动力系统的定性分析和稳定性。在第一部分中对偶函数进行傅里叶级数展开时主要利用了分部积分法来求解系数并且通过代入特定点的值结合狄利克雷定理来求解无穷级数的和。第二部分涉及到了含有平方项的非线性微分方程通过分离变量法可以求出速度关于时间的双曲正切形式表达式对其再次积分就可以得到包含对数双曲余弦函数形式的位移解析解寻找无穷远处的渐近线时需要利用双曲余弦函数在自变量趋于无穷大时的指数渐近形式来进行近似估计。第三部分是典型的动力系统分析令导数为零即可得到系统的所有不动点通过求解微分方程右侧函数的一阶导数在各个不动点处的值的正负号就可以判断其局部渐近稳定性在区间内部由于导数符号固定轨道必然向着唯一的稳定不动点演化最后利用复合函数求导法则计算给定标量函数的对时导数只要证明其在该区间内非负就能严格说明它是随时间演化的单调递增函数。