0304-2018 名情复 数学 P370

线性代数 概率统计 特征值与特征向量 马尔可夫链

[1] 次の小問に答えよ。

1. 行列

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$$

の固有値と固有ベクトルを求めよ。

2. 1. の $A$ に対して，ある直交行列 $U$ を選べば，$U^{T}AU$ が対角行列となる。このときの $U$ を示せ。ただし，$U^T$ は $U$ の転置を表す。

3. $n$ を自然数として，$n$ 次の正方行列 $B$ の固有値が ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$ であるとする。適当なユニタリ行列 $P$ を選べば $P^{-1}BP$ が上三角行列となり，かつ，対角成分が ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots ,{\lambda }_n$ となることが知られている。この関係を用いて，$B^2$ の固有値が ${\lambda }_1^2,{\lambda }_2^2,\dots ,{\lambda }_n^2$ となることを示せ。

4. $f(x)$ は $x$ に対する任意の多項式とする。3) の $B$ に対して，$f(B)$ の固有値が $f({\lambda }_1),f({\lambda }_2),\dots ,f({\lambda }_n)$ となることを示せ。

[2] 次の小問に答えよ。

1. $0<p<1$ および $0<q<1$ を満たす実数 $p$ と $q$ を用いて，行列

$$P=\left(\begin{array}{cc}1-p& q\\ p& 1-q\end{array}\right)$$

とおく。$n$ を自然数とするとき，

$$P^n=\frac{1}{p+q}\left(\begin{array}{cc}q& q\\ p& p\end{array}\right)+\frac{(1-p-q{)}^n}{p+q}\left(\begin{array}{cc}p& -q\\ -p& q\end{array}\right)$$

が成り立つことを示せ。

2. ある野球選手は，ヒットを打った次の打席において2割の確率でヒットを打つとする。また，ヒットを打たなかった次の打席では4割の確率でヒットを打つとする。ある打席ではヒットを打った。次々回にヒットを打つ確率を答えよ。また，十分な打席数を終えたあと，次の打席でヒットを打つ確率を答えよ。

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解答：

[1]
1)

$$|A-\lambda I|=\left|\begin{array}{ccc}-\lambda & 0& 1\\ 0& 1-\lambda & 0\\ 1& 0& -\lambda \end{array}\right|=-(\lambda -1{)}^2(\lambda +1)=0$$ $$\lambda =1,-1$$

$\lambda =1$ のとき：

$$A-I=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 1& 0& -1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& -1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

$\lambda =-1$ のとき：

$$A+I=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 2& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$ $$\boxed{\begin{array}{rl}& \text{固有値 }\lambda =1,\text{固有ベクトル }{c}_1\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 1\end{array}\right)+c_2\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)(c_1,c_2\text{ は同時に0でない任意定数})\\ & \text{固有値 }\lambda =-1,\text{固有ベクトル }{c}_3\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)(c_3\ne 0\text{ は任意定数})\end{array}}$$

$$\boxed{U=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}}& 0& \frac{1}{\sqrt{2}}\\ 0& 1& 0\\ \frac{1}{\sqrt{2}}& 0& -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)}$$

$$P^{-1}BP=T$$ $$B^2=(PT{P}^{-1}{)}^2=P{T}^2{P}^{-1}$$ $$\begin{array}{rl}|B^2-\lambda I|& =|P{T}^2{P}^{-1}-\lambda P{P}^{-1}|\\ & =|P(T^2-\lambda I)P^{-1}|\\ & =|P||T^2-\lambda I||P^{-1}|\\ & =|T^2-\lambda I|\end{array}$$

$T$ が対角成分 ${\lambda }_i$ の上三角行列であるため，$T^2$ も対角成分 ${\lambda }_i^2$ の上三角行列となる。

$$|T^2-\lambda I|=\prod _{i=1}^n({\lambda }_i^2-\lambda )=0$$

ゆえに，$B^2$ の固有値は ${\lambda }_1^2,{\lambda }_2^2,\dots ,{\lambda }_n^2$ となる。(証明終)

$$f(B)=Pf(T)P^{-1}$$ $$|f(B)-\lambda I|=|f(T)-\lambda I|$$

上三角行列の和および積も上三角行列であり，対角成分は各成分ごとの演算結果となるため，$f(T)$ は対角成分が $f({\lambda }_i)$ の上三角行列となる。

$$|f(T)-\lambda I|=\prod _{i=1}^n(f({\lambda }_i)-\lambda )=0$$

ゆえに，$f(B)$ の固有値は $f({\lambda }_1),f({\lambda }_2),\dots ,f({\lambda }_n)$ となる。(証明終)

[2]
1)
数学的帰納法により示す。$n=1$ のとき，

$$\begin{array}{rl}& \frac{1}{p+q}\left(\begin{array}{cc}q& q\\ p& p\end{array}\right)+\frac{1-p-q}{p+q}\left(\begin{array}{cc}p& -q\\ -p& q\end{array}\right)\\ & =\frac{1}{p+q}\left(\begin{array}{cc}q+p-p^2-pq& q-q+pq+q^2\\ p-p+p^2+pq& p+q-pq-q^2\end{array}\right)\\ & =\frac{1}{p+q}\left(\begin{array}{cc}(1-p)(p+q)& q(p+q)\\ p(p+q)& (1-q)(p+q)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1-p& q\\ p& 1-q\end{array}\right)=P\end{array}$$

よって成立する。$n=k$ のとき成立すると仮定する。$n=k+1$ のとき，

$$\begin{array}{rl}{P}^{k+1}& =P^{k}P=\left\{\frac{1}{p+q}\left(\begin{array}{cc}q& q\\ p& p\end{array}\right)+\frac{(1-p-q{)}^k}{p+q}\left(\begin{array}{cc}p& -q\\ -p& q\end{array}\right)\right\}\left(\begin{array}{cc}1-p& q\\ p& 1-q\end{array}\right)\\ & =\frac{1}{p+q}\left(\begin{array}{cc}q(1-p)+qp& qq+q(1-q)\\ p(1-p)+pp& pq+p(1-q)\end{array}\right)+\frac{(1-p-q{)}^k}{p+q}\left(\begin{array}{cc}p(1-p)-qp& pq-q(1-q)\\ -p(1-p)+qp& -pq+q(1-q)\end{array}\right)\\ & =\frac{1}{p+q}\left(\begin{array}{cc}q& q\\ p& p\end{array}\right)+\frac{(1-p-q{)}^k}{p+q}\left(\begin{array}{cc}p(1-p-q)& -q(1-p-q)\\ -p(1-p-q)& q(1-p-q)\end{array}\right)\\ & =\frac{1}{p+q}\left(\begin{array}{cc}q& q\\ p& p\end{array}\right)+\frac{(1-p-q{)}^{k+1}}{p+q}\left(\begin{array}{cc}p& -q\\ -p& q\end{array}\right)\end{array}$$

よって $n=k+1$ のときも成立する。すべての自然数 $n$ について成り立つ。(証明終)

状態ベクトルを ${\mathbf{x}}_n=\left(\begin{array}{c}\text{ヒット確率}\\ \text{非ヒット確率}\end{array}\right)$ とする。

$${\mathbf{x}}_{n+1}=\left(\begin{array}{cc}0.2& 0.4\\ 0.8& 0.6\end{array}\right){\mathbf{x}}_n$$

この遷移行列は $1-p=0.2,1-q=0.6$ より $p=0.8,q=0.4$ とした行列 $P$ に等しい。

$${\mathbf{x}}_0=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$$

次々回 ($n=2$)：

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{x}}_2& =P^2{\mathbf{x}}_0=\left\{\frac{1}{1.2}\left(\begin{array}{cc}0.4& 0.4\\ 0.8& 0.8\end{array}\right)+\frac{(-0.2{)}^2}{1.2}\left(\begin{array}{cc}0.8& -0.4\\ -0.8& 0.4\end{array}\right)\right\}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}1/3& 1/3\\ 2/3& 2/3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)+\frac{1}{30}\left(\begin{array}{c}0.8\\ -0.8\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1/3+4/150\\ 2/3-4/150\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0.36\\ 0.64\end{array}\right)\end{array}$$

十分な打席数 ($n\to \infty$)：

$$|1-p-q|=|-0.2|<1\text{ より }\underset{n\to \infty }{\lim }(1-p-q{)}^n=0$$ $$\underset{n\to \infty }{\lim }{\mathbf{x}}_n=\left\{\frac{1}{1.2}\left(\begin{array}{cc}0.4& 0.4\\ 0.8& 0.8\end{array}\right)\right\}\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1/3\\ 2/3\end{array}\right)$$ $$\boxed{\begin{array}{rl}& \text{次々回：}0.36\text{ (または }9/25\text{)}\\ & \text{十分な打席数後：}1/3\end{array}}$$

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这道题目主要考察了线性代数中的矩阵特征值计算与对角化以及矩阵乘幂在马尔可夫链转移概率中的实际应用。在第一部分中对于矩阵上三角化的性质考察，直接利用了相似矩阵特征多项式相同的性质以及上三角矩阵在乘法运算中保持对角元素各自乘幂和代数多项式运算的特殊结构即可证明。第二部分考察概率转移矩阵的求幂公式，可以使用对角化方法求解矩阵的n次幂来推导公式，但由于题目直接给出了目标结果，通过数学归纳法进行验证通常在书写上会更为简洁和清晰。马尔可夫链极限分布的求解则直接利用给定的矩阵n次幂公式，由于第二项的底数绝对值小于1，在无穷次迭代后衰减为零，稳态分布自然取决于公式中的第一部分常数矩阵。