0302-2017 名情复 机械 P363

流体力学 相对平衡 刚体旋转 流体动力学基础

[1] 下図のように，円筒容器（直径 $2R$）が内部の液体とともに鉛直軸周りに一定の角速度 $\omega$ で回転している。ただし，円筒容器の底面中心に座標原点を置き，半径方向に $r$ 軸，鉛直上方向に $z$ 軸をとる。以下の問いに答えよ。

1. 液体の自由表面は，次式で表されることを示しなさい。
   

   $$z=\frac{{\omega }^2}{2g}{r}^2+z_0$$
   ここで，$g$ は重力加速度，$z_0(>0)$ は円筒容器中心の自由表面の高さである。

2. $\omega$ の値にかかわらず，自由表面の高さ（$z$ の値）が一定の半径位置 $r_f$ がある。$r_f$ を求めなさい。
   

[2] 以下の用語について，それぞれ 100 字以内で説明せよ。ただし，数式や図を併用してもよいが，字数には含めない。

1. 流線
2. Reynolds 数
3. Venturi 管

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解答：

[1]
1)
円柱座標系における定常な剛体回転の運動方程式は以下の通りである。

$$\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial r}=r{\omega }^2$$
$$\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial z}=-g$$
圧力 $p$ の全微分は次式で表される。
$$dp=\frac{\partial p}{\partial r}dr+\frac{\partial p}{\partial z}dz=\rho r{\omega }^{2}dr-\rho gdz$$
自由表面は等圧面であるため $dp=0$ となる。
$$\rho r{\omega }^{2}dr-\rho gdz=0$$
$$dz=\frac{{\omega }^2}{g}rdr$$
両辺を積分する。
$$z=\frac{{\omega }^2}{2g}{r}^2+C(C\text{ は積分定数})$$
境界条件として $r=0$ のとき $z=z_0$ を適用すると $C=z_0$ となる。したがって、
$$z=\frac{{\omega }^2}{2g}{r}^2+z_0$$
(証明終)

液体の体積 $V$ は回転の前後で保存される。

$$\begin{array}{rl}V& ={\int }_0^{R}2\pi rzdr\\ & =2\pi {\int }_0^R\left(\frac{{\omega }^2}{2g}{r}^3+z_{0}r\right)dr\\ & =2\pi {\left[\frac{{\omega }^2}{8g}{r}^4+\frac{z_0}{2}{r}^2\right]}_0^R\\ & =\pi R^2\left(\frac{{\omega }^2{R}^2}{4g}+z_0\right)\end{array}$$
体積 $V$ は $\omega$ に依存せず一定であるため、$z_0$ について解く。
$$z_0=\frac{V}{\pi R^2}-\frac{{\omega }^2{R}^2}{4g}$$
これを自由表面の式に代入する。
$$\begin{array}{rl}z& =\frac{{\omega }^2}{2g}{r}^2+\frac{V}{\pi R^2}-\frac{{\omega }^2{R}^2}{4g}\\ & =\frac{{\omega }^2}{2g}\left(r^2-\frac{R^2}{2}\right)+\frac{V}{\pi R^2}\end{array}$$
$\omega$ の値にかかわらず $z$ が一定となるためには、${\omega }^2$ の係数が $0$ になればよい。
$$r^2-\frac{R^2}{2}=0$$
$r>0$ であるため、
$$\boxed{r_f=\frac{R}{\sqrt{2}}}$$

[2]

1. 流線
   任意の時刻において、空間内の各点での流体の速度ベクトルと曲線の接線方向が一致する曲線のこと。定常流においては、流体粒子の軌跡である流跡線と一致する。

2. Reynolds 数
   流体の慣性力と粘性力の比を表す無次元数であり、$Re=UL/\nu$（$U$:代表速度、$L$:代表長さ、$\nu$:動粘度）と定義され、流れが層流か乱流かを判別する指標となる。

3. Venturi 管
   管路の一部を滑らかに絞った形状の管。ベルヌーイの定理に基づき、流路断面積の変化に伴う圧力降下を測定することで、管内を流れる流体の流量を求める流量計として用いられる。

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本题主要考察流体力学中的流体相对平衡问题以及流体动力学的基本概念。在处理圆筒内容器随中心轴匀速旋转的液体时，液体与容器保持相对静止形成刚体旋转。此时液体微团仅受重力和离心力作用，通过建立欧拉运动方程并利用自由表面为等压面的性质，即可推导出自由表面的旋转抛物面方程。在求解不随角速度变化的固定高度位置时，关键在于利用液体不可压缩性质即体积守恒定律，将中心高度与角速度联系起来，从而找出只与容器半径有关的定点。名词解释部分涉及了描述流场分布的空间曲线概念，判断流动状态的重要无量纲数，以及基于能量守恒原理测量管道流量的经典工程应用装置，解答时需要准确把握其核心物理意义与工程应用场景。