0301-2017 名情复 机械 P362

材料力学 弯曲变形 挠度曲线 平面应力状态 主应力 应变能

[1] 支点AとBに支持された長さ $\ell$ のはりがある。図1のように，$\ell$ を 1:2 に内分する点Cに荷重 $W$ を作用させる。はりのヤング率（縦弾性係数）は一定値 $E$，断面二次モーメントは一定値 $I$ とする。また，このはりの下方にはばね定数 $K$ のばねが設置されており，荷重 $W$ が零のときばねの上端とはりは離れていて，ばねの上端とはりの距離は $\delta$ とする。なお，重力は無視する。以下の問いに答えよ。

1. 荷重 $W$ が点Cに作用するときを考える。
   1-1) 支点AとBの反力を求めよ。
   1-2) AC間とCB間の曲げモーメントを求めよ。
   1-3) 点Cにおいてたわみと傾きが連続となる条件を示せ。

2. 図2に示すように，荷重 $W$ が零のとき点Cにばねを接続して静止させる。点Aを原点として図2のように $x$-$y$ 座標をとるときのはりのたわみ曲線 $y(x)$ を求めよ。
   

[2] 線形弾性体における $x$-$y$ 平面内での平面応力状態を考える。ヤング率を $E$，ポアソン比を $\nu$ とする。弾性体の点Pに，応力成分 ${\sigma }_x=2s$，${\sigma }_y=s$ および ${\tau }_{xy}=-s/2$ が発生している。ただし，$s$ は正の定数とする。点Pについて以下の問いに答えよ。

1. 主応力を求めよ。
2. 主せん断応力を求めよ。
3. 単位体積当たりの弾性ひずみエネルギーを求めよ。

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解答：

[1]
1)
1-1) 点Aにおける反力を $R_A$ (上向き正)，点Bにおける反力を $R_B$ (上向き正)とする。
力のつり合いより

$$R_A+R_B-W=0$$
点Aまわりのモーメントのつり合いより
$$R_B\cdot \ell -W\cdot \frac{\ell }{3}=0$$
$$\boxed{R_A=\frac{2}{3}W,R_B=\frac{1}{3}W}$$

1-2) 点Aからの距離を $x$ とし，曲げモーメントを $M(x)$ とすると，下側引張を正として
AC間 ($0\le x\le \frac{\ell }{3}$)：

$$M_1(x)=R_{A}x$$
$$\boxed{M_1(x)=\frac{2}{3}Wx\left(0\le x\le \frac{\ell }{3}\right)}$$
CB間 ($\frac{\ell }{3}\le x\le \ell$)：
$$M_2(x)=R_{A}x-W\left(x-\frac{\ell }{3}\right)$$
$$\boxed{M_2(x)=-\frac{1}{3}Wx+\frac{1}{3}W\ell \left(\frac{\ell }{3}\le x\le \ell \right)}$$

1-3) はりのたわみを $v(x)$ (下向き正) とすると，たわみの微分方程式は

$$-EI\frac{{\mathrm{d}}^{2}v}{\mathrm{d}{x}^2}=M(x)$$
AC間とCB間のたわみをそれぞれ $v_1(x)$, $v_2(x)$ とする。
点C ($x=\frac{\ell }{3}$) におけるたわみと傾きの連続条件は
$$\boxed{\begin{array}{rl}& v_1\left(\frac{\ell }{3}\right)=v_2\left(\frac{\ell }{3}\right)\\ & {\frac{\mathrm{d}{v}_1}{\mathrm{d}x}|}_{x=\frac{\ell }{3}}={\frac{\mathrm{d}{v}_2}{\mathrm{d}x}|}_{x=\frac{\ell }{3}}\end{array}}$$

2. ばねを接続して静止させたとき，点Cにはばねからの上向きの反力 $F$ が作用する。このとき，ばねの伸びは点Cにおけるはりのたわみ $v_C$ に等しく，初期の隙間 $\delta$ を考慮すると
   $$F=K(v_C-\delta )$$
   この反力 $F$ が下向き荷重 $W=-F$ として点Cに作用するとみなせる。(荷重W=0の状態でばねを繋いで引いたため，ばねは引き伸ばされて張力を持つ．図2のy軸は下向きである．たわみを $y(x)$ とする)
3. の結果において，荷重を $-F$ と置き換えると，曲げモーメントは
   $$M_1(x)=-\frac{2}{3}Fx\left(0\le x\le \frac{\ell }{3}\right)$$
   $$M_2(x)=\frac{1}{3}Fx-\frac{1}{3}F\ell \left(\frac{\ell }{3}\le x\le \ell \right)$$
   たわみの基礎方程式 $EI{y}^{\prime \prime }=-M$ より
   $$EI{y}_1^{\prime \prime }=\frac{2}{3}Fx⟹EI{y}_1^{\prime }=\frac{1}{3}F{x}^2+C_1⟹EI{y}_1=\frac{1}{9}F{x}^3+C_{1}x+C_2$$
   $$EI{y}_2^{\prime \prime }=-\frac{1}{3}Fx+\frac{1}{3}F\ell ⟹EI{y}_2^{\prime }=-\frac{1}{6}F{x}^2+\frac{1}{3}F\ell x+C_3⟹EI{y}_2=-\frac{1}{18}F{x}^3+\frac{1}{6}F\ell x^2+C_{3}x+C_4$$
   境界条件と連続条件：
   $y_1(0)=0⟹C_2=0$
   $y_2(\ell )=0⟹-\frac{1}{18}F{\ell }^3+\frac{1}{6}F{\ell }^3+C_3\ell +C_4=0⟹C_3\ell +C_4=-\frac{1}{9}F{\ell }^3$
   $y_1\left(\frac{\ell }{3}\right)=y_2\left(\frac{\ell }{3}\right)⟹\frac{1}{243}F{\ell }^3+C_1\frac{\ell }{3}=-\frac{1}{486}F{\ell }^3+\frac{1}{54}F{\ell }^3+C_3\frac{\ell }{3}+C_4$
   $y_1^{\prime }\left(\frac{\ell }{3}\right)=y_2^{\prime }\left(\frac{\ell }{3}\right)⟹\frac{1}{27}F{\ell }^2+C_1=-\frac{1}{54}F{\ell }^2+\frac{1}{9}F{\ell }^2+C_3⟹C_1-C_3=\frac{1}{18}F{\ell }^2$
   これらを解くと
   $C_1=-\frac{4}{81}F{\ell }^2,C_3=-\frac{17}{162}F{\ell }^2,C_4=\frac{1}{162}F{\ell }^3$
   したがって
   $$EI{y}_1(x)=\frac{1}{9}F{x}^3-\frac{4}{81}F{\ell }^{2}x=\frac{Fx}{81}(9x^2-4{\ell }^2)$$
   $$EI{y}_2(x)=-\frac{1}{18}F{x}^3+\frac{1}{6}F\ell x^2-\frac{17}{162}F{\ell }^{2}x+\frac{1}{162}F{\ell }^3=\frac{F(\ell -x)}{162}(9x^2-18\ell x-{\ell }^2)$$
   点Cにおけるたわみ $y_C=y_1\left(\frac{\ell }{3}\right)=\frac{F(\ell /3)}{81EI}\left(9(\ell /3{)}^2-4{\ell }^2\right)=-\frac{4F{\ell }^3}{243EI}$
   ここで $F=K(y_C-\delta )$ (ただし，ばねの接続時は $y_C$ は負の変位となるため，引張力 $F$ の向きに注意する。ここでは下向き変位 $y_C$ に対してばねは押し込まれるため，ばねの上端座標が $\delta$ であり、接続後の変位 $y_C$ によりばねの伸びは $y_C-\delta$ となるが、図2を見ると $y$ は下向き正で、ばねは $y=\delta$ にある。接続後つり合った位置 $y_C$ では、ばねの変形量は $y_C-\delta$ であり、ばねが梁を上に引く力は $F=K(y_C-\delta )$ となる。ここでの $F$ は梁に対する上向きの力であり、上で $W=-F$ としたので矛盾はない。ただし $y_C>0$ かつ $y_C>\delta$ のとき $F>0$ であるが、図2のように初期隙間 $\delta$ のある状態から強制的にばねを繋ぐと梁は下にたわむので $y_C>0$ だが、ばねは引き伸ばされるので $y_C<\delta$ であり $F<0$ となる。上の式 $y_C=-\frac{4F{\ell }^3}{243EI}$ に代入すると
   $$y_C=-\frac{4{\ell }^3}{243EI}K(y_C-\delta )⟹y_C\left(1+\frac{4K{\ell }^3}{243EI}\right)=\frac{4K{\ell }^3\delta }{243EI}⟹y_C=\frac{4K{\ell }^3\delta }{243EI+4K{\ell }^3}$$
   したがって，反力 $F$ は
   $$F=K\left(\frac{4K{\ell }^3\delta }{243EI+4K{\ell }^3}-\delta \right)=\frac{-243EIK\delta }{243EI+4K{\ell }^3}$$
   これを $y_1,y_2$ の式に代入する。
   $$\boxed{\begin{array}{rl}y(x)& =\frac{-3K\delta x(9x^2-4{\ell }^2)}{243EI+4K{\ell }^3}\left(0\le x\le \frac{\ell }{3}\right)\\ y(x)& =\frac{-3K\delta (\ell -x)(9x^2-18\ell x-{\ell }^2)}{2(243EI+4K{\ell }^3)}\left(\frac{\ell }{3}\le x\le \ell \right)\end{array}}$$

[2]

1. 平面応力状態における主応力 ${\sigma }_1,{\sigma }_2$ (${\sigma }_1\ge {\sigma }_2$) は
   

   $${\sigma }_{1,2}=\frac{{\sigma }_x+{\sigma }_y}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\right)}^2+{\tau }_{xy}^2}$$
   代入すると
   $${\sigma }_{1,2}=\frac{2s+s}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{2s-s}{2}\right)}^2+{\left(-\frac{s}{2}\right)}^2}=\frac{3s}{2}\pm \sqrt{\frac{s^2}{4}+\frac{s^2}{4}}=\frac{3s}{2}\pm \frac{\sqrt{2}s}{2}$$
   $$\boxed{{\sigma }_1=\frac{3+\sqrt{2}}{2}s,{\sigma }_2=\frac{3-\sqrt{2}}{2}s}$$

2. 平面内の主せん断応力 ${\tau }_{\max }$ は
   

   $${\tau }_{\max }=\frac{{\sigma }_1-{\sigma }_2}{2}=\sqrt{{\left(\frac{{\sigma }_x-{\sigma }_y}{2}\right)}^2+{\tau }_{xy}^2}$$
   $$\boxed{{\tau }_{\max }=\frac{\sqrt{2}}{2}s}$$
   (注: 3次元的な最大せん断応力を求める場合、${\sigma }_3=0$ と比較する必要があるが、平面応力状態での「主せん断応力」(面内最大せん断応力)を求めていると解釈した。)

3. 単位体積当たりの弾性ひずみエネルギー $U$ は
   

   $$U=\frac{1}{2E}({\sigma }_x^2+{\sigma }_y^2-2\nu {\sigma }_x{\sigma }_y)+\frac{1}{2G}{\tau }_{xy}^2$$
   ここで $G=\frac{E}{2(1+\nu )}$ より $\frac{1}{2G}=\frac{1+\nu }{E}$
   $$U=\frac{1}{2E}\left((2s{)}^2+s^2-2\nu (2s)(s)\right)+\frac{1+\nu }{E}{\left(-\frac{s}{2}\right)}^2$$
   $$U=\frac{1}{2E}(5s^2-4\nu s^2)+\frac{1+\nu }{E}\frac{s^2}{4}=\frac{s^2}{E}\left(\frac{5}{2}-2\nu +\frac{1+\nu }{4}\right)=\frac{s^2}{E}\left(\frac{11}{4}-\frac{7}{4}\nu \right)$$
   $$\boxed{U=\frac{11-7\nu }{4E}{s}^2}$$

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第一部分考察了材料力学中的简支梁受集中力作用时的反力、弯矩计算以及利用挠曲线微分方程求解挠度的方法。静定梁的反力可以通过整体静力平衡方程直接求出，弯矩方程则需要分段写出。在求解连接弹簧后的挠曲线时，将弹簧的作用力视为一个未知的集中力，然后利用已知的挠曲线方程表达式，结合点C处的变形协调条件（弹簧的伸长量与该点的挠度存在几何关系）来确定该未知力的大小。需要注意图2中坐标系的定义以及位移与力的正负号对应关系。第二部分考察了应力状态分析和应变能的计算。对于平面应力状态，可以利用解析公式直接求出主应力和面内最大切应力（主切应力）。单位体积的弹性应变能（应变能密度）可以利用广义胡克定律通过应力分量直接表示，计算时需要注意切变模量与杨氏模量、泊松比之间的换算关系。