0299-2017 名情复 机械 P334

力学 拉格朗日力学 单摆模型 能量守恒定律 微振动

図のような $x-y$ 平面の原点 $O=(0,0)$ を中心とする半径 $R$ の半円周上を，質量 $m$ の質点が滑らかに運動する系を考える。原点 $O$ と質点を結ぶ線分と $y$ 軸とのなす角度を $\varphi$ $\left(-\frac{\pi }{2}<\varphi <\frac{\pi }{2}\right)$ とし，質点が最下点の位置 $(0,-R)$ にあるときを $\varphi =0$ とする。$\varphi$ の正の向きは反時計回りとする。重力加速度を $g$ とする。以下の問に答えよ。

[1] 質点の位置座標 $(x,y)$ を $R$ および $\varphi$ を用いて表せ。

[2] この系の運動エネルギー $K(\dot{\varphi })$ およびポテンシャルエネルギー $V(\varphi )$ を求めよ。
ただし $\dot{\varphi }\equiv \frac{d\varphi }{dt}$ であり，$\varphi =0$ を $V(\varphi )$ の基準にとるものとする。

[3] 問 [2] で求めた $K,V$ よりラグランジアン $L$ を構成し，オイラー・ラグランジュ方程式を利用して $\varphi$ に関する運動方程式を求めよ。

[4] この系の全エネルギー $E\equiv K+V$ は保存されることを示せ。

[5] 問 [3] で求めた $\varphi$ の運動方程式の解を考える。ただし本問 [5] では $|\varphi |$ は十分に小さいと仮定し，$\sin \varphi \simeq \varphi ,\cos \varphi \simeq 1-\frac{{\varphi }^2}{2}$ と近似してから計算すること。

1. 一般解 $\varphi (t)$ を求めよ。またその周期 $T$ を求めよ。
2. $t=0$ における初期条件 $\varphi (0)=\delta ,\dot{\varphi }(0)=0$ を満たす解 $\varphi (t)$ を求めよ。
3. 問 2) で求めた解 $\varphi (t)$ を用いて，系の周期 $T$ にわたる運動エネルギーの時間平均 $\bar{K}\equiv \frac{1}{T}{\int }_0^{T}Kdt$ およびポテンシャルエネルギーの時間平均 $\bar{V}\equiv \frac{1}{T}{\int }_0^{T}Vdt$ の値をそれぞれ求めよ。

[6] $t=0$ における初期条件 $\varphi (0)={\varphi }_0>0,\dot{\varphi }(0)=0$ から動き出す質点の運動を考える。

1. エネルギー保存則より，質点が角度 $\varphi$ を通過するときの速さ $v(\varphi )$ を求めよ。
2. 最初に $\varphi =0$ に到達するのに要する時間 $t_0$ を $\varphi$ に関する定積分を用いて表せ。
   

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解答：

[1]
幾何学的関係より、

$$\boxed{(x,y)=(R\sin \varphi ,-R\cos \varphi )}$$

[2]
速度成分は $\dot{x}=R\dot{\varphi }\cos \varphi ,\dot{y}=R\dot{\varphi }\sin \varphi$ であるから、

$$\boxed{\begin{array}{rl}K(\dot{\varphi })& =\frac{1}{2}m({\dot{x}}^2+{\dot{y}}^2)=\frac{1}{2}m{R}^2{\dot{\varphi }}^2\\ V(\varphi )& =mgy-mg(-R)=mgR(1-\cos \varphi )\end{array}}$$

[3]
ラグランジアン $L=K-V$ より、

$$L=\frac{1}{2}m{R}^2{\dot{\varphi }}^2-mgR(1-\cos \varphi )$$
オイラー・ラグランジュ方程式 $\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{\varphi }}\right)-\frac{\partial L}{\partial \varphi }=0$ に代入して、
$$m{R}^2\ddot{\varphi }+mgR\sin \varphi =0$$
$$\boxed{\ddot{\varphi }+\frac{g}{R}\sin \varphi =0}$$

[4]
全エネルギー $E=K+V$ を時間微分すると、

$$\frac{dE}{dt}=m{R}^2\dot{\varphi }\ddot{\varphi }+mgR\sin \varphi \cdot \dot{\varphi }=m{R}^2\dot{\varphi }\left(\ddot{\varphi }+\frac{g}{R}\sin \varphi \right)$$
問 [3] の運動方程式より括弧内は $0$ となるため、
$$\frac{dE}{dt}=0$$
ゆえに全エネルギー $E$ は時間に対して一定であり、保存される。(証明終)

[5]
1)
近似により運動方程式は $\ddot{\varphi }+\frac{g}{R}\varphi =0$ となる。$\omega =\sqrt{\frac{g}{R}}$ とおくと、

$$\boxed{\begin{array}{rl}\varphi (t)& =A\cos \left(\sqrt{\frac{g}{R}}t\right)+B\sin \left(\sqrt{\frac{g}{R}}t\right)(A,B\text{は任意定数})\\ T& =2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}\end{array}}$$
2)
初期条件 $\varphi (0)=\delta ,\dot{\varphi }(0)=0$ を一般解に適用し、
$$\boxed{\varphi (t)=\delta \cos \left(\sqrt{\frac{g}{R}}t\right)}$$
3)
$\varphi (t)$ および近似 $V(\varphi )\simeq \frac{1}{2}mgR{\varphi }^2$ を代入し、
$$\bar{K}=\frac{1}{T}{\int }_0^T\frac{1}{2}m{R}^2{\left(-\delta \sqrt{\frac{g}{R}}\sin \left(\sqrt{\frac{g}{R}}t\right)\right)}^{2}dt=\frac{1}{2}mgR{\delta }^2\frac{1}{T}{\int }_0^T{\sin }^2\left(\frac{2\pi }{T}t\right)dt$$
$$\bar{V}=\frac{1}{T}{\int }_0^T\frac{1}{2}mgR{\left(\delta \cos \left(\sqrt{\frac{g}{R}}t\right)\right)}^{2}dt=\frac{1}{2}mgR{\delta }^2\frac{1}{T}{\int }_0^T{\cos }^2\left(\frac{2\pi }{T}t\right)dt$$
1周期にわたる ${\sin }^2,{\cos }^2$ の平均値はいずれも $\frac{1}{2}$ であるから、
$$\boxed{\bar{K}=\frac{1}{4}mgR{\delta }^2,\bar{V}=\frac{1}{4}mgR{\delta }^2}$$

[6]
1)
力学的エネルギー保存則 $E(\varphi )=E({\varphi }_0)$ より、

$$\frac{1}{2}mv(\varphi {)}^2+mgR(1-\cos \varphi )=0+mgR(1-\cos {\varphi }_0)$$
$$\boxed{v(\varphi )=\sqrt{2gR(\cos \varphi -\cos {\varphi }_0)}}$$
2)
質点は ${\varphi }_0$ から $0$ に向かって運動するため、$\dot{\varphi }<0$ であり $v(\varphi )=-R\frac{d\varphi }{dt}$ となる。
$$dt=\frac{-R}{\sqrt{2gR(\cos \varphi -\cos {\varphi }_0)}}d\varphi$$
積分範囲を ${\varphi }_0$ から $0$ として積分すると、
$$t_0={\int }_{{\varphi }_0}^0\frac{-R}{\sqrt{2gR(\cos \varphi -\cos {\varphi }_0)}}d\varphi$$
$$\boxed{t_0=\sqrt{\frac{R}{2g}}{\int }_0^{{\varphi }_0}\frac{1}{\sqrt{\cos \varphi -\cos {\varphi }_0}}d\varphi }$$

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本题主要考查了经典力学中单摆模型的拉格朗日力学表述及其在微小振动与大角度振动两种不同物理情境下的动力学特性。对于该系统拉格朗日量定义为系统的总动能减去总势能，代入欧拉-拉格朗日方程可以避免复杂的受力分析从而直接推导出物体的运动方程。对于保守力场中的机械能守恒证明，通常通过对系统总能量求时间导数并结合运动方程将其化为零来完成，这在本质上反映了系统拉格朗日量不显含时间时的哈密顿量守恒。在处理小角度微小振动时，利用泰勒展开将三角函数保留至线性项和二次项以实现微分方程的线性化，进而得出简谐振动的标准解。在简谐振动体系中，其在一个完整周期内的动能时间平均值与势能时间平均值严格相等，这是位力定理在二次型势场中的典型体现。当初始偏角较大时由于非线性项不可忽略系统将做非简谐振动，此时难以得出显式的解析时间函数，需要依赖能量守恒定律将线速度与角度关联起来，通过分离变量将所需时间表达为定积分的形式，该积分结果在数学上需要利用第一类完全椭圆积分来进行精确计算。