0298-2017 名情复 数学 P333

常微分方程 非线性系统 线性近似 相平面分析

[1] 熱いコーヒーを外気にさらしておくと，コーヒーの温度は次第に下がっていく。この現象を次のように考えよう。

1. 時刻$t$でのコーヒーの温度を$T(t)$，外気の温度は常に一定で$T_{\mathrm{E}}>0$であるとする。コーヒーの温度は，コーヒーの温度と外気の温度との差に比例する速度で下がっていくものとして，$T(t)$が満たす微分方程式を，$T(t)$，$T_{\mathrm{E}}$および適当な比例定数を用いて書け。
2. 入れたてのコーヒーの温度を$T(0)=T_0>T_{\mathrm{E}}$として$T(t)$を$t$の関数で表せ。
3. 前問2)で求めた$T(t)$を$t$の関数として図示せよ。

[2] 微分方程式

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}-y=f(x)$$
について考えよう。ここで，$y$は$x$の一変数関数である。以下のそれぞれの$f(x)$の場合について，この微分方程式の一般解を求めよ。ただし，$e$は自然対数の底である。

1. $f(x)=0$
2. $f(x)=3e^{2x}$
3. $f(x)=e^x$

[3] 時間$t$を独立変数とする2つの未知関数$x(t)$，$y(t)$についての連立微分方程式

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}& =y\\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}& =x-x^3\end{array}(1)$$
を考えよう。

1. 一般に$x-y$平面上の点$(x(t),y(t))$は連立微分方程式(1)に従って時間とともに動くが，時間が経過しても移動しない点を不動点と呼ぶことにする。この連立微分方程式(1)の不動点を全て求めよ。
2. 前問1)で求めた不動点のうち，$x$座標が正のものを$(x^{\ast },y^{\ast })$とする。この不動点の近傍での点$(x(t),y(t))$の振る舞いを考えよう。そのために，
   $$\begin{array}{rl}x(t)& =x^{\ast }+u(t)\\ y(t)& =y^{\ast }+v(t)\end{array}$$
   のように$u(t)$，$v(t)$を導入する。ただし，$|u(t)|,|v(t)|\ll 1$である。連立微分方程式(1)を線形近似して，$u(t)$，$v(t)$が満たす連立微分方程式を求めよ。
3. $u(t)$，$v(t)$を任意定数を含む$t$の関数として求めよ。
4. 不動点$(x^{\ast },y^{\ast })$の近傍での点$(x(t),y(t))$の軌道はどのような形になるか，数式を用いて説明せよ。

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解答：

[1]
1)
比例定数を $k>0$ とする。

$$\frac{\mathrm{d}T(t)}{\mathrm{d}t}=-k(T(t)-T_{\mathrm{E}})$$
$$\boxed{\frac{\mathrm{d}T(t)}{\mathrm{d}t}=-k(T(t)-T_{\mathrm{E}})(k>0)}$$

変数分離法を用いて解く。

$$\int \frac{\mathrm{d}T}{T-T_{\mathrm{E}}}=\int -k\mathrm{d}t$$
$$\ln |T(t)-T_{\mathrm{E}}|=-kt+C$$
$$T(t)-T_{\mathrm{E}}=A{e}^{-kt}(A=\pm e^C)$$
初期条件 $T(0)=T_0$ を代入する。
$$T_0-T_{\mathrm{E}}=A$$
$$\boxed{T(t)=T_{\mathrm{E}}+(T_0-T_{\mathrm{E}})e^{-kt}}$$

$$\boxed{\text{縦軸に }T\text{、横軸に }t\text{ をとる。点 }(0,T_0)\text{ から始まり、}T=T_{\mathrm{E}}\text{ を漸近線として単調減少する曲線となる。}}$$

[2]
1)
特性方程式 ${\lambda }^2-1=0$ より $\lambda =\pm 1$。

$$\boxed{y(x)=C_1{e}^x+C_2{e}^{-x}(C_1,C_2\text{ は任意定数})}$$

特解を $y_p=A{e}^{2x}$ とおく。

$$y_p^{\prime \prime }-y_p=4A{e}^{2x}-A{e}^{2x}=3A{e}^{2x}$$
方程式に代入して $3A{e}^{2x}=3e^{2x}$ より $A=1$。
$$\boxed{y(x)=C_1{e}^x+C_2{e}^{-x}+e^{2x}(C_1,C_2\text{ は任意定数})}$$

右辺の $e^x$ が特性根 $1$ に対応するため、特解を $y_p=Ax{e}^x$ とおく。

$$y_p^{\prime }=A{e}^x+Ax{e}^x$$
$$y_p^{\prime \prime }=2A{e}^x+Ax{e}^x$$
方程式に代入する。
$$(2A{e}^x+Ax{e}^x)-Ax{e}^x=e^x$$
$$2A{e}^x=e^x⟹A=\frac{1}{2}$$
$$\boxed{y(x)=C_1{e}^x+C_2{e}^{-x}+\frac{1}{2}x{e}^x(C_1,C_2\text{ は任意定数})}$$

[3]
1)
不動点の条件より、$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=0$, $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=0$。

$$y=0$$
$$x-x^3=0⟹x(1-x)(1+x)=0⟹x=0,\pm 1$$
$$\boxed{(0,0),(1,0),(-1,0)}$$

$x$座標が正の不動点は $(x^{\ast },y^{\ast })=(1,0)$。
$x(t)=1+u(t)$, $y(t)=v(t)$ を代入する。

$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=v$$
$$\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=(1+u)-(1+u{)}^3=1+u-(1+3u+3u^2+u^3)=-2u-3u^2-u^3$$
$|u|,|v|\ll 1$ より高次の項を無視して線形近似を行う。
$$\boxed{\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}& =v\\ \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}& =-2u\end{array}}$$

得られた連立方程式から $v$ を消去する。

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{t}^2}=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-2u⟹\frac{{\mathrm{d}}^{2}u}{\mathrm{d}{t}^2}+2u=0$$
$$u(t)=C_1\cos (\sqrt{2}t)+C_2\sin (\sqrt{2}t)$$
$v(t)=\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}$ に代入する。
$$v(t)=-\sqrt{2}{C}_1\sin (\sqrt{2}t)+\sqrt{2}{C}_2\cos (\sqrt{2}t)$$
$$\boxed{\begin{array}{rl}u(t)& =C_1\cos (\sqrt{2}t)+C_2\sin (\sqrt{2}t)\\ v(t)& =-\sqrt{2}{C}_1\sin (\sqrt{2}t)+\sqrt{2}{C}_2\cos (\sqrt{2}t)\end{array}(C_1,C_2\text{ は任意定数})}$$

$u(t)$ と $v(t)$ の式から $t$ を消去して関係式を求める。

$$u(t{)}^2+\frac{v(t{)}^2}{2}=C_1^2{\cos }^2(\sqrt{2}t)+C_2^2{\sin }^2(\sqrt{2}t)+2C_1{C}_2\cos (\sqrt{2}t)\sin (\sqrt{2}t)+\frac{2C_1^2{\sin }^2(\sqrt{2}t)+2C_2^2{\cos }^2(\sqrt{2}t)-4C_1{C}_2\sin (\sqrt{2}t)\cos (\sqrt{2}t)}{2}$$
$$u(t{)}^2+\frac{v(t{)}^2}{2}=C_1^2+C_2^2$$
定数 $C_1^2+C_2^2$ を $R^2$ とおく。
$$\boxed{\begin{array}{rl}& u^2+\frac{v^2}{2}=R^2(R\text{ は定数})\text{ が成り立つ。}\\ & \text{よって、不動点 }(1,0)\text{ の近傍での軌道は楕円となる。}\end{array}}$$

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本题涉及一阶与高阶常微分方程的解析解法以及非线性动力系统的局部稳定性分析。第一题运用牛顿冷却定律建立了一阶线性微分方程，通过分离变量法积分即可获得温度随时间指数衰减的规律，图象体现为趋于环境温度的平滑下降曲线。第二题考察二阶常系数线性非齐次微分方程，解的结构为齐次通解与非齐次特解之和。利用特征方程求出齐次解后，运用待定系数法求特解，特别需要注意当非齐次项的指数与特征根重合时，特解的形式需要乘上一个自变量以保证解的线性无关性。第三题分析非线性动力系统的相轨迹，首先通过令导数为零求出系统的所有平衡点，然后通过泰勒展开舍弃高阶无穷小量，将系统在特定平衡点附近进行线性化。线性化后的方程组本质上描述了一个无阻尼谐振子运动，其解表现为正弦与余弦的线性组合。通过消去时间参量，运用三角函数基本关系，可以证明微扰状态量构成了椭圆方程，说明在相平面上状态点围绕该平衡点做周期性的封闭椭圆运动，该不动点性质上属于中心。