0297-2017 名情复 数学 P332

线性代数 向量分析 矩阵表示 对角化 梯度 方向导数

[1] 2次元ベクトル空間 $V$ を定義域として $V$ を値域とする線形な関数 $f:V\to V$ は、

$$\mathbf{a}=\left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right),\mathbf{b}=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)$$

に対して、それぞれ

$$f(\mathbf{a})=\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\end{array}\right),f(\mathbf{b})=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)$$

となる。次の小問に答えよ。

1. 任意の $\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)\in V$ に対する $f(\mathbf{x})$ を行列を用いて表せ。

2. $\mathbf{c}=\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right)$ に対して、

$$f(\mathbf{x})=\mathbf{c}$$

を満たす $\mathbf{x}$ を求める方程式を考える。1) で $f(\mathbf{x})$ を表すのに用いた行列は対角行列ではない。$\mathbf{x}$ に適当な線形変換を施した $\mathbf{y}\in V$ を用いて、この方程式を対角行列を用いた方程式にかきかえよ。

[2] 3次元ベクトル空間 $U$ 上の任意の $\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)\in U$ に対して、関数

$$p(\mathbf{x})=x_1^2+2x_2^2+x_3^2+2x_1{x}_2$$

が与えられているとする。次の小問に答えよ。

1. $\mathbf{x}$ における $p$ の勾配 $\nabla p$ を求めよ。

2. ${\mathbf{x}}_0=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ -1\end{array}\right)$ における $p$ の $\mathbf{d}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$ 方向に対する方向微分係数

$$\frac{dp}{ds}({\mathbf{x}}_0)=\underset{s\to 0}{\lim }\frac{p({\mathbf{x}}_0+s\mathbf{d})-p({\mathbf{x}}_0)}{s}$$

を求めよ。

3. 2. の ${\mathbf{x}}_0$ において、$p$ の等値面に対して $p$ の値が増加する方向を向いた法線を考える。その法線に対する $p$ の方向微分係数を求めよ。

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解答：

[1]

1. 行列表現を $A$ とし $f(\mathbf{x})=A\mathbf{x}$ とおく。与えられた条件より以下の関係が成り立つ。

$$A\left(\begin{array}{cc}\mathbf{a}& \mathbf{b}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}f(\mathbf{a})& f(\mathbf{b})\end{array}\right)$$

$$A\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 3\\ 1& 2\end{array}\right)$$

逆行列を右からかけて $A$ を求める。

$$\begin{array}{rl}A& =\left(\begin{array}{cc}-2& 3\\ 1& 2\end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& 2\end{array}\right)}^{-1}\\ & =\left(\begin{array}{cc}-2& 3\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& -3\\ -1& 2\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}-7& 12\\ 0& 1\end{array}\right)\end{array}$$

$$\boxed{f(\mathbf{x})=\left(\begin{array}{cc}-7& 12\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)}$$

2. 行列 $A$ の固有値を $\lambda$ とする。

$$|A-\lambda I|=(-7-\lambda )(1-\lambda )=0$$

固有値は ${\lambda }_1=-7,{\lambda }_2=1$ である。
${\lambda }_1=-7$ に対する固有ベクトルは ${\mathbf{v}}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ となる。
${\lambda }_2=1$ に対する固有ベクトルは条件 $f(\mathbf{b})=\mathbf{b}$ より ${\mathbf{v}}_2=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)$ となる。
これらを用いて正則行列 $P$ を構成し対角化する。

$$P=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 2\end{array}\right)$$

$$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}-7& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

方程式 $A\mathbf{x}=\mathbf{c}$ に $\mathbf{x}=P\mathbf{y}$ の線形変換を施す。

$$P^{-1}AP\mathbf{y}=P^{-1}\mathbf{c}$$

$$\left(\begin{array}{cc}-7& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\mathbf{y}={\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 2\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{cc}-7& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\mathbf{y}=\left(\begin{array}{cc}1& -\frac{3}{2}\\ 0& \frac{1}{2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{c}_1\\ c_2\end{array}\right)$$

$$\boxed{\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{cc}-7& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\mathbf{y}& =\left(\begin{array}{c}{c}_1-\frac{3}{2}{c}_2\\ \frac{1}{2}{c}_2\end{array}\right)\\ \mathbf{y}& =\left(\begin{array}{c}{x}_1-\frac{3}{2}{x}_2\\ \frac{1}{2}{x}_2\end{array}\right)\end{array}}$$

[2]

1. 勾配 $\nabla p$ は各変数による偏微分からなるベクトルである。

$$\nabla p=\left(\begin{array}{c}\frac{\partial p}{\partial x_1}\\ \frac{\partial p}{\partial x_2}\\ \frac{\partial p}{\partial x_3}\end{array}\right)$$

$$\boxed{\nabla p=\left(\begin{array}{c}2x_1+2x_2\\ 2x_1+4x_2\\ 2x_3\end{array}\right)}$$

2. 点 ${\mathbf{x}}_0$ における勾配ベクトルを計算する。

$$\nabla p({\mathbf{x}}_0)=\left(\begin{array}{c}2(1)+2(2)\\ 2(1)+4(2)\\ 2(-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 10\\ -2\end{array}\right)$$

方向微分係数は勾配と方向ベクトルの内積により得られる。

$$\frac{dp}{ds}({\mathbf{x}}_0)=\nabla p({\mathbf{x}}_0)\cdot \mathbf{d}=\left(\begin{array}{c}6\\ 10\\ -2\end{array}\right)\cdot \frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}2\\ 2\\ 1\end{array}\right)$$

$$\frac{dp}{ds}({\mathbf{x}}_0)=\frac{1}{3}(12+20-2)=10$$

$$\boxed{10}$$

3. 関数値が増加する方向の単位法線ベクトルを $\mathbf{n}$ とすると、これは勾配の方向と一致する。

$$\mathbf{n}=\frac{\nabla p({\mathbf{x}}_0)}{|\nabla p({\mathbf{x}}_0)|}$$

求める方向微分係数は勾配とこの単位法線ベクトルの内積である。

$$\frac{dp}{ds}=\nabla p({\mathbf{x}}_0)\cdot \mathbf{n}=\frac{\nabla p({\mathbf{x}}_0)\cdot \nabla p({\mathbf{x}}_0)}{|\nabla p({\mathbf{x}}_0)|}=|\nabla p({\mathbf{x}}_0)|$$

$$|\nabla p({\mathbf{x}}_0)|=\sqrt{6^2+10^2+(-2{)}^2}=\sqrt{36+100+4}=\sqrt{140}=2\sqrt{35}$$

$$\boxed{2\sqrt{35}}$$

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对于第一部分的问题，解题的核心在于利用给定的基底向量及其在映射下的像来求解线性变换的矩阵表示。通过求解矩阵的特征值与特征向量，可以构造出相似变换矩阵，进而将原方程对角化。这种方法在解耦线性方程组时非常有效。关于新变量的定义，可以直接利用特征向量构成的变换矩阵的逆矩阵作用于原坐标得到。

在第二部分中，主要涉及多元函数向量分析的基础知识。计算标量场的梯度是求解方向导数的前提，方向导数本质上就是梯度向量在指定方向单位向量上的投影。此外，函数值增长最快的方向始终与该点梯度向量的方向一致，此时方向导数达到最大值，其大小正好等于梯度向量的模长。掌握这些基本几何意义可以快速求解此类问题。