0296-2016 名情复 机械 P327

控制学 传递函数 反馈控制 稳态误差

時間 $t$ の関数 $f(t)$ のラプラス変換された関数を $F(s)$ のように書くことにする。

[1] 図 1 に示す理想オペアンプ OP1，OP2，および OP3 を用いた閉ループ制御系について，以下の問いに答えよ。なお，$v_i(t)$ は入力電圧，$v_o(t)$ は出力電圧，$v_A(t)$ は A 点における電圧，$v_B(t)$ は B 点における電圧，$R_0,R_1,R_2,R_3,R_4$ は抵抗値，$C_1,C_2$ はコンデンサの静電容量を表す。ただし，初期値はすべてゼロとする。OP1，OP2，および OP3 については，「＋」入力端子における電圧と「－」入力端子における電圧が等しく，また「＋」と「－」入力端子に流れる電流がゼロとみなすことができる。

1. $V_A(s)$ から $V_o(s)$ までの伝達関数 $P(s)=V_o(s)/V_A(s)$ を求めよ。
2. $V_o(s)$ から $V_B(s)$ までの伝達関数 $H(s)=V_B(s)/V_o(s)$ を求めよ。
3. $V_i(s)$ から $V_o(s)$ までの閉ループ伝達関数 $G(s)=V_o(s)/V_i(s)$ を求めよ。
4. $R_0=R_1,R_3=R_4,R_1{C}_1=R_2{C}_2=T$ とする。ただし，$T$ は正の実数である。角周波数を $\omega$ ，入力電圧を $v_i(t)=\sin (\omega t)$ とする。定常状態における出力電圧 $v_o(t)$ の振幅を最大とする角周波数 $\omega$ の値およびそのときの振幅の値を求めよ。
   

[2] 図 2 に示す外乱のある閉ループ制御系について，下記の条件 (a)〜(c) をすべて満たす $K$ の値の範囲を求めよ。(a) 閉ループ制御系が安定である。(b) 外乱 $d(t)=1$ に対する定常偏差がゼロである。(c) 入力 $u(t)=t$ に対する定常偏差が 0.2 以下である。

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解答：

[1]
1)
演算増幅器 OP2 はコンデンサ $C_2$ と抵抗 $R_2$ による反転積分回路を構成しているため、

$$\boxed{P(s)=\frac{V_o(s)}{V_A(s)}=-\frac{1}{s{R}_2{C}_2}}$$

演算増幅器 OP3 は抵抗 $R_3,R_4$ による反転増幅回路を構成しているため、

$$\boxed{H(s)=\frac{V_B(s)}{V_o(s)}=-\frac{R_4}{R_3}}$$

演算増幅器 OP1 の「－」入力端子について、仮想接地とキルヒホッフの電流則より次式が成り立つ。

$$\frac{V_i(s)}{R_0}+\frac{V_B(s)}{R_0}+\frac{V_A(s)}{Z_f(s)}=0$$
ここで、帰還インピーダンス $Z_f(s)$ は $R_1$ と $C_1$ の並列接続であるため、
$$Z_f(s)=\frac{R_1\frac{1}{s{C}_1}}{R_1+\frac{1}{s{C}_1}}=\frac{R_1}{1+s{R}_1{C}_1}$$
$V_A(s)=\frac{V_o(s)}{P(s)}=-s{R}_2{C}_2{V}_o(s)$、および $V_B(s)=H(s)V_o(s)=-\frac{R_4}{R_3}{V}_o(s)$ を電流則の式に代入する。
$$\frac{V_i(s)}{R_0}-\frac{R_4}{R_0{R}_3}{V}_o(s)-\frac{s{R}_2{C}_2(1+s{R}_1{C}_1)}{R_1}{V}_o(s)=0$$
$V_o(s)$ について整理する。
$$V_i(s)=\left(\frac{R_4}{R_3}+\frac{s{R}_0{R}_2{C}_2(1+s{R}_1{C}_1)}{R_1}\right)V_o(s)$$
したがって、閉ループ伝達関数 $G(s)$ は、
$$\boxed{G(s)=\frac{R_1{R}_3}{s^2{R}_0{R}_1{R}_2{R}_3{C}_1{C}_2+s{R}_0{R}_2{R}_3{C}_2+R_1{R}_4}}$$

条件 $R_0=R_1,R_3=R_4,R_1{C}_1=R_2{C}_2=T$ を $G(s)$ に代入する。

$$G(s)=\frac{R_1{R}_3}{s^2{R}_1^2{R}_2{R}_3{C}_1{C}_2+s{R}_1{R}_2{R}_3{C}_2+R_1{R}_3}$$
分母と分子を $R_1{R}_3$ で除算し整理すると、
$$G(s)=\frac{1}{s^2(R_1{C}_1)(R_2{C}_2)+s(R_2{C}_2)+1}=\frac{1}{T^2{s}^2+Ts+1}$$
入力 $v_i(t)=\sin (\omega t)$ に対する定常状態の出力振幅 $M(\omega )$ は、周波数伝達関数 $G(j\omega )$ の絶対値に等しい。
$$M(\omega )=|G(j\omega )|=\left|\frac{1}{(1-T^2{\omega }^2)+jT\omega }\right|=\frac{1}{\sqrt{(1-T^2{\omega }^2{)}^2+T^2{\omega }^2}}$$
振幅が最大となるのは、根号内の関数 $f({\omega }^2)=(1-T^2{\omega }^2{)}^2+T^2{\omega }^2=T^4{\omega }^4-T^2{\omega }^2+1$ が最小となるときである。
$\frac{df({\omega }^2)}{d({\omega }^2)}=2T^4{\omega }^2-T^2=0$ より、${\omega }^2=\frac{1}{2T^2}$。
$\omega >0$ より、角周波数は、
$$\boxed{\omega =\frac{1}{\sqrt{2}T}}$$
このときの振幅の最大値は、
$$\boxed{M\left(\frac{1}{\sqrt{2}T}\right)=\frac{1}{\sqrt{T^4{\left(\frac{1}{2T^2}\right)}^2-T^2\left(\frac{1}{2T^2}\right)+1}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+1}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}}$$

[2]
閉ループ制御系のブロック線図より、偏差 $E(s)$ は次のように表される。

$$E(s)=U(s)-\frac{1}{s+1}Y(s)$$
$$Y(s)=\frac{2}{s+2}\left(\frac{K(s+4)}{4s}E(s)+D(s)\right)$$
$E(s)$ の式に $Y(s)$ を代入して整理する。
$$E(s)=U(s)-\frac{2}{(s+1)(s+2)}\left(\frac{K(s+4)}{4s}E(s)+D(s)\right)$$
$$\left(1+\frac{2K(s+4)}{4s(s+1)(s+2)}\right)E(s)=U(s)-\frac{2}{(s+1)(s+2)}D(s)$$
両辺に $4s(s+1)(s+2)$ を掛け、特性多項式を $\Delta (s)=4s(s+1)(s+2)+2K(s+4)=4s^3+12s^2+(8+2K)s+8K$ とおくと、
$$E(s)=\frac{4s(s+1)(s+2)}{\Delta (s)}U(s)-\frac{8s}{\Delta (s)}D(s)$$

(a)
閉ループ系が安定であるためには、特性方程式 $s^3+3s^2+(2+0.5K)s+2K=0$ のすべての根の実部が負でなければならない。ラウスの安定判別法を用いると、ラウス配列の第1列は $1,3,\frac{6-0.5K}{3},2K$ となる。これらがすべて正である条件より、

$$\begin{array}{rl}6-0.5K>0& ⟹K<12\\ 2K>0& ⟹K>0\end{array}$$
したがって、安定条件は $0<K<12$ である。

(b)
外乱 $d(t)=1$ ($D(s)=1/s$) であり、$U(s)=0$ のとき、定常偏差 $e_d(\infty )$ は最終値の定理より、

$$e_d(\infty )=\underset{s\to 0}{\lim }sE(s)=\underset{s\to 0}{\lim }s\left(-\frac{8s}{\Delta (s)}\frac{1}{s}\right)=\underset{s\to 0}{\lim }\frac{-8s}{8K}=0$$
これは (a) の安定条件を満たす $K$ において常に成立し、定常偏差はゼロとなる。

(c)
入力 $u(t)=t$ ($U(s)=1/s^2$) であり、$D(s)=0$ のとき、定常偏差 $e_u(\infty )$ は、

$$\begin{array}{rl}{e}_u(\infty )& =\underset{s\to 0}{\lim }sE(s)\\ & =\underset{s\to 0}{\lim }s\left(\frac{4s(s^2+3s+2)}{\Delta (s)}\frac{1}{s^2}\right)\\ & =\underset{s\to 0}{\lim }\frac{4(s^2+3s+2)}{4s^3+12s^2+(8+2K)s+8K}\\ & =\frac{8}{8K}\\ & =\frac{1}{K}\end{array}$$

条件より $e_u(\infty )\le 0.2$ であるから、

$$\frac{1}{K}\le 0.2⟹K\ge 5$$

以上 (a)〜(c) のすべての条件を満たす $K$ の値の範囲は、

$$\boxed{5\le K<12}$$

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本题主要考察了控制工程中的频域分析与系统综合。第一部分需要利用运算放大器电路的理想特性（虚短、虚断），通过拉普拉斯变换推导出各级电路的传递函数，并利用基尔霍夫电流定律建立闭环系统的总传递函数。在给定参数对称的条件下，系统退化为标准的二阶低通滤波器，通过求取幅频特性的极值点即可得到共振频率及最大振幅。第二部分是对带有反馈的闭环系统进行稳态与动态性能分析。利用劳斯稳定判据（Routh-Hurwitz criterion）确定保证系统渐近稳定的增益 $K$ 的取值范围，随后根据终值定理分别计算阶跃干扰和斜坡输入下的稳态误差，综合所有约束条件即可解得增益 $K$ 的最终范围。