0295-2016 名情复 机械 P326

流体力学 欧拉方程 伯努利方程 速度势 流函数 卡门涡街

[1] $x-y$平面内の二次元非粘性・非圧縮性流れについて，以下の問いに答えよ。

1. Eulerの運動方程式を記述せよ。ただし，時間を$t$，速度を$(u,v)$，密度を$\rho$，圧力を$p$，単位質量あたりに作用する体積力を$(X,Y)$とする。
2. 定常流を対象として，Bernoulliの式をEulerの運動方程式から導出せよ。ただし，体積力がポテンシャル$U$により生じ，$X=-\partial U/\partial x$および$Y=-\partial U/\partial y$と表されるものとする。

[2] 以下の用語について，それぞれ100字以内で説明せよ。ただし，数式や図を併用してもよい。

1. 渦度
2. 速度ポテンシャル
3. 流れ関数
4. Karman渦

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解答：

[1]
1)

$$\boxed{\begin{array}{rl}\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}& =X-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial x}\\ \frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}& =Y-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial y}\end{array}}$$

定常流より $\frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial v}{\partial t}=0$。また体積力の条件をEulerの運動方程式に代入すると、

$$\begin{array}{rl}u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}& =-\frac{\partial U}{\partial x}-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial x}\\ u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}& =-\frac{\partial U}{\partial y}-\frac{1}{\rho }\frac{\partial p}{\partial y}\end{array}$$
流線上の微小変位 $(dx,dy)$ に対して、第1式に $dx$、第2式に $dy$ を乗じて辺々足し合わせる。
$$\left(u\frac{\partial u}{\partial x}dx+u\frac{\partial v}{\partial x}dy\right)+\left(v\frac{\partial u}{\partial y}dx+v\frac{\partial v}{\partial y}dy\right)=-\left(\frac{\partial U}{\partial x}dx+\frac{\partial U}{\partial y}dy\right)-\frac{1}{\rho }\left(\frac{\partial p}{\partial x}dx+\frac{\partial p}{\partial y}dy\right)$$
流線の方程式 $\frac{dx}{u}=\frac{dy}{v}⟹vdx=udy$ を用いると、左辺の各項は以下のようになる。
$$u\frac{\partial u}{\partial x}dx+v\frac{\partial v}{\partial x}dx=\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial x}(u^2+v^2)dx$$
$$u\frac{\partial u}{\partial y}dy+v\frac{\partial v}{\partial y}dy=\frac{1}{2}\frac{\partial }{\partial y}(u^2+v^2)dy$$
流速の大きさを $V=\sqrt{u^2+v^2}$ とすると、
$$\frac{1}{2}\left(\frac{\partial V^2}{\partial x}dx+\frac{\partial V^2}{\partial y}dy\right)=-dU-\frac{1}{\rho }dp$$
$$\frac{1}{2}d(V^2)+dU+\frac{1}{\rho }dp=0$$
非圧縮性流れより密度 $\rho$ は一定であるから、これを積分して
$$\frac{V^2}{2}+U+\frac{p}{\rho }=C(C\text{は流線上で一定の定数})$$
(証明終)

[2]
1)
流体の微小要素の回転の度合いを表すベクトル量であり、速度ベクトル$\mathbf{v}$の回転として定義される。2次元流れ$(u,v)$では$\omega =\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}$で表され、平均角速度の2倍に等しい。

渦なし流れにおいて定義されるスカラー関数$\Phi$。速度ベクトルはその勾配として$\mathbf{v}=\nabla \Phi$と表され、2次元では$u=\frac{\partial \Phi }{\partial x},v=\frac{\partial \Phi }{\partial y}$となる。

二次元非圧縮性流れにおいて連続の式を満たすように定義される関数$\Psi$。速度成分は$u=\frac{\partial \Psi }{\partial y},v=-\frac{\partial \Psi }{\partial x}$と表され、$\Psi$が一定の曲線は流線に一致する。

流れの中に円柱などの物体を置いたとき、その後方の左右から交互に規則正しく発生し下流へ放出される渦列のこと。カルマン渦列とも呼ばれ、物体に周期的な変動力を及ぼすため流体振動の原因となる。

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本题主要考察了理想流体力学中的基本控制方程以及几个核心概念。第一部分要求写出二维不可压缩无粘流体的欧拉运动方程，并在此基础上推导沿流线的伯努利方程。推导的关键在于利用定常流动的条件，将欧拉方程与流线方程 $dx/u=dy/v$ 结合，沿流线进行全微分的积分，由于流体不可压缩，密度为常数可以直接积分。第二部分考查了流体运动学中的重要概念。涡度描述了流体微团的自旋情况，只有当涡度处处为零时才存在速度势函数。流函数则是基于二维不可压缩流体的连续性方程引入的，它的等值线完美契合了流线的物理图像。卡门涡街属于流体动力学中的经典现象，常出现于钝体绕流中，是工程中引起结构诱发振动的重要机制。